상태 방정식 (우주론)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

물리우주론에서, 상태 방정식(狀態方程式, 영어: equation of state)은 이상 유체에너지-운동량 텐서를 특정짓는 무차원 매개변수이며, 압력에너지 밀도의 비다. 기호는 w. 이는 이상 유체의 (열역학적) 상태 방정식의 매개변수에 해당한다.

정의[편집]

이상 유체(perfect fluid)의 에너지-운동량 텐서는 다음과 같은 꼴이다.

T^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}\rho\\&p\\&&p\\&&&p\end{pmatrix}

여기서 \rho는 유체의 에너지 밀도, p는 유체의 압력이다. 이 경우 유체의 상태 방정식 w

w=p/\rho

이다.

프리드만 방정식과의 관계[편집]

프리드만 방정식

3\ddot a/a=-4\pi G(\rho+3p)=-4\pi G(1+3w)\rho

이다. (편의상 우주 상수w=-1인 물질로 취급할 수 있다.) 그렇다면

\rho\propto a^{-3(1+w)}

이고, 평탄한 우주의 경우

a\propto t^{2/(3(1+w))}

이 된다. 따라서 우주의 각 시기를, 그 시기에 중요한 에너지원들의 상태 방정식만으로 나타낼 수 있다.

[편집]

물질 상태 방정식 w 비고
먼지(영어: dust) 0
무질량 입자 (광자 기체 등) 1/3 등각 대칭에 따라 T^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu}=0
우주 상수 −1 T^{\mu\nu}\propto\eta^{\mu\nu}
공간의 곡률 k/a^2 −1/3 제1 프리드만 방정식으로부터, \rho=-(3/8\pi G)k/a^2. 제2 프리드만 방정식에는 곡률이 등장하지 않으므로, 1+3w=0
퍼텐셜 V(\phi)의 스칼라장 \frac{\dot\phi^2/2-V(\phi)}{\dot\phi^2/2+V(\phi)}\in[-1,1] 퍼텐셜이 작은 경우 (자유 입자) w\to1, 퍼텐셜이 큰 경우 (인플라톤) w\to-1