상태 밀도

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응집물질물리학에서, 상태 밀도(狀態密度, density of states)는 파수 공간에서 같은 에너지를 가진 파수 상태의 수다. 단위 부피 및 단위 에너지당 양자역학적 상태의 수를 나타낸다. 국제 단위는 매 매 세제곱미터 (J−1 · m−3)이지만, 흔히 매 전자볼트 매 세제곱센티미터 (eV−1 · cm−3)를 쓴다.

정의[편집]

주어진 의 입자가 분산 관계 E(\mathbf k)를 따른다고 하자. 그렇다면 파수 벡터 공간에서, 에너지가 E 이하인 파수 영역의 부피 \Omega(E)를 정의할 수 있다. 그렇다면 상태 밀도 N(E)는 다음과 같다.

N(E)=\frac g{(2\pi)^3}\frac{d\Omega(E)}{dE}.

여기서 g겹침이다. 즉, 같은 에너지 및 파수에서 몇 개의 상태가 존재하는지를 나타낸다. 예를 들어, 전자의 경우에는 스핀 자유도로 인하여 g=2이다.

예제[편집]

디바이 모형에서, 포논은 단순한 선형 분산 관계 E(\mathbf k)=\hbar vk를 가진다. 따라서 \Omega(E)는 반지름이 E/v의 부피다. 즉,

\Omega(E)=\frac43\pi(E/\hbar v)^3

이다. 포논은 편향 상태(polarization state)가 3개 있으므로, g=3이다. 따라서 상태 밀도는 다음과 같다.

N(E)=\frac3{(2\pi)^3}\frac{d\Omega}{dE}=\frac{3E^2}{2\pi^2\hbar^3v^3}.

빛의 속도보다 매우 낮은 속도로 움직이는 자유 전자의 경우에는 분산 관계는 E(\mathbf k)=\hbar^2k^2/2m이다. 따라서 \Omega(E)의 반지름은 \sqrt{2mE}/\hbar이고,

\Omega(E)=\frac{4\pi}{3\hbar^3}(2mE)^{3/2}

이다. 전자의 경우에는 스핀 자유도로 인해 g=2이므로,

N(E)=\frac1{2\pi^2\hbar^3}\sqrt{(2m)^3E}

이다.

참고 문헌[편집]