사차원 속도

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특수 상대성 이론에서, 물체의 사차원 속도(四次元速度, 영어: four-velocity)는 로런츠 인자 \gamma신속도 \mathbf u=\gamma\mathbf v로 이루어진 사차원 벡터 u^\mu=(\gamma,\mathbf u)=\gamma(1,\mathbf v)다. 물체가 시공간을 얼마나 빨리 이동하는지 나타내는 값으로 해석할 수 있다. 이름과 달리, 그 공간 성분은 (삼차원) 속도 \mathbf v가 아니라 신속도 \mathbf u=\gamma\mathbf v다(삼차원 속도는 그 어느 사차원 벡터의 공간 성분도 이루지 않는다).

정의[편집]

사차원 속도는 위치 x^\mu고유 시간 \tau로 미분한 값이다.

u^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}.

정의에 따라, 고유 시간은 로런츠 변환에 대한 스칼라이므로 사차원 속도는 (위치 x^\mu와 마찬가지로) 사차원 벡터다. 고유 시간은

\tau=t/\gamma

이므로, 따라서

u^\mu=\gamma\frac{d}{dt}x^\mu=\gamma(1,v_x,v_y,v_z)

가 된다. 여기서 v_x=dx/dt, v_y=dy/dt, v_z=dz/dt는 물체의 삼차원 속도의 성분이다.

그 공간 성분 \mathbf u=\gamma\mathbf v신속도라고 부르기도 한다.

정의에 따라, 사차원 속도는

u^2=\sum_{\mu,\nu=0}^3 u^\mu u^\nu\eta_{\mu\nu}=\gamma^2-\gamma^2\lVert\mathbf v\rVert^2=1

을 만족한다. 또한, 정지 질량m_0인 물체의 사차원 운동량

p^\mu=m_0u^\mu

이다.

같이 보기[편집]