사차원 속도

특수 상대성 이론에서, 물체의 사차원 속도(四次元速度, 영어: four-velocity)는 로런츠 인자 $\gamma$와 고유속도(proper velocity(=celerity)) $\mathbf {u} =\gamma \mathbf {v}$로 이루어진 사차원 벡터 $u^{\mu }=(\gamma ,\mathbf {u} )=\gamma (1,\mathbf {v} )$다. 물체가 시공간을 얼마나 빨리 이동하는지 나타내는 값으로 해석할 수 있다. 이름과 달리, 그 공간 성분은 (삼차원) 속도 $\mathbf {v}$가 아니라 고유속도(proper velocity(=celerity))이다. $\mathbf {u} =\gamma \mathbf {v}$다(삼차원 속도는 그 어느 사차원 벡터의 공간 성분도 이루지 않는다).

정의

사차원 속도는 위치 $x^{\mu }$를 고유 시간 $\tau$로 미분한 값이다.

$u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}$.

정의에 따라, 고유 시간은 로런츠 변환에 대한 스칼라이므로 사차원 속도는 (위치 $x^{\mu }$와 마찬가지로) 사차원 벡터다. 고유 시간은

$\tau =t/\gamma$

이므로, 따라서

$u^{\mu }=\gamma {\frac {d}{dt}}x^{\mu }=\gamma (1,v_{x},v_{y},v_{z})$

가 된다. 여기서 $v_{x}=dx/dt$, $v_{y}=dy/dt$, $v_{z}=dz/dt$는 물체의 삼차원 속도의 성분이다.

그 공간 성분 $\mathbf {u} =\gamma \mathbf {v}$는 고유속도(proper velocity(=celerity))이다.

정의에 따라, 사차원 속도는

$u^{2}=\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}u^{\mu }u^{\nu }\eta _{\mu \nu }=\gamma ^{2}-\gamma ^{2}\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=1$

을 만족한다. 또한, 정지 질량이 $m_{0}$인 물체의 사차원 운동량은

$p^{\mu }=m_{0}u^{\mu }$

이다.

같이 보기

• 미분
• 미적분학
• 사차원 벡터
• 사차원 운동량
• 특수 상대성 이론