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응력의 정의

연속체 역학에서, 어떤 물체는 표면힘과 몸체힘의 두가지 외력을 받을 수 있다.

표면힘($\ F_{i}\,\!$, 단위 면적당 힘)은 두 물체가 접촉했을 때 그 표면에 발생하는 힘이다. 또는, 어떤 물체에 힘이 가해질 때 미리 설정한 가상의 표면에서 작용하는 힘으로 정의하기도 한다. 표면힘의 강도는 접촉하는 면적에 반비례한다.

몸체힘은 물체 전체 지점에 작용하는 힘이다. 중력, 전자기력, 관성에 의해 발생한다. 중력이나 관성의 경우, 몸체힘의 강도는 재료의 밀도($\rho \,\!$)에 비례한다. 이 경우에 힘은 단위 질량당 힘($b_{i}\,\!$)이나 단위 부피당 힘($p_{i}\,\!$)으로 정의되는데, 따라서 $\rho b_{i}=p_{i}\,\!$의 관계가 성립한다. 마찬가지로 전자기력에 의한 몸체힘은 전자기장의 힘에 비례한다.

물체 외부에서 힘이 작용하면, 물체 모든 지점으로 힘이 전파된다. 이 때 각 지점의 힘은 모멘트 보존 법칙에 의해 결정된다. 정적 평형상태(static equilibrium)에 있는 물체는 힘과 모멘트 평형을 만족한다.

물체 내에 어떤 가상의 표면을 가정하고, 그 표면에 작용하는 외력의 비율을 '응력'이라 한다. 즉, 응력은 단위 면적당 가해지는 힘의 양이다. 예를 들어 철사와 야구방망이를 1N의 힘으로 당겼을 때, 두 물체에 가해지는 '힘'은 동일하지만, 물체에 가해지는 '응력'은 다르다.

Stress in a prismatic bar

Figure 1.3. Normal stress in a prismatic bar. The stress or force distribution in the cross section of the bar is not necessarily uniform. However, an average normal stress $\sigma _{\mathrm {avg} }\,\!$ can be used

Figure 1.4. Shear stress in a prismatic bar. The stress or force distribution in the cross section of the bar is not necessarily uniform. However, an average shear stress $\tau _{\mathrm {avg} }\,\!$ is not a good approximation.

First the simple case of a prismatic bar subjected to an axial force $F_{\mathrm {n} }\,\!$ will be examined. These axial forces can be produced either by tension or compression (Figures 1.2 and 1.3). Considering a cross sectional area perpendicular to the axis of the bar, from the equilibrium of forces the resultant normal force $F_{\mathrm {n} }\,\!$ can be found. The intensity of internal forces, or stress $\sigma \,\!$, in the cross sectional area can then be obtained by dividing the total normal force $F_{\mathrm {n} }\,\!$, e.g. tensile force if acting outward to the plane or compressive force if acting inward to the plane, by the cross-sectional area $A\,\!$ where it is acting upon. In this case the stress $\sigma \,\!$ is a scalar quantity called engineering or nominal stress that represents an average stress ($\sigma _{\mathrm {avg} }\,\!$) over the area, i.e. the stress in the cross section is uniformly distributed. Thus, we have

$\sigma _{\mathrm {avg} }={\frac {F_{\mathrm {n} }}{A}}\approx \sigma \,\!$

A different type of stress is obtained when transverse forces $F_{\mathrm {\,} }\!$ are applied to the prismatic bar as show in Figure 1.4. Considering the same cross section as before, from static equilibrium, the internal force has a magnitude equal to $F_{\mathrm {s} }\,\!$ and in opposite direction parallel to the cross section. $F_{\mathrm {s} }\,\!$ is called the shear force. Dividing the shear force $F_{\mathrm {s} }\,\!$ by the area $A\,\!$ of the cross section we obtain the shear stress. In this case the shear stress $\tau \,\!$ is a scalar quantity representing an average shear stress ($\tau _{\mathrm {avg} }\,\!$) in the section, i.e. the stress in the cross section is uniformly distributed.

$\tau _{\mathrm {avg} }={\frac {F_{\mathrm {s} }}{A}}\approx \tau \,\!$

In general, however, the stress is not uniformly distributed over the cross section of a material body, and consequently the stress at a point on a given area is different from the average stress over the entire area. In Figure 1.3, the normal stress is observed in two planes $m-m\,\!$ and $n-n\,\!$ of the axially loaded prismatic bar. The stress on plane $n-n\,\!$, which is closer to the point of application of the load $F\,\!$, varies more across the cross section than that of plane $m-m\,\!$. However, if the cross sectional area of the bar is very small, e.g. a slender bar, the variation of stress across the area is small and the normal stress can be approximated by $\sigma _{\mathrm {avg} }\,\!$. On the other hand, the variation of shear stress across the section of a prismatic bar cannot be assumed uniform.

Therefore, it is necessary to define the stress at a specific point in the surface.