사드의 정리

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사드의 정리(Sard's theorem, -定理) 또는 사드의 보조정리(Sard's lemma, -補助定理)는 미국수학자 아서 사드(Arthur Sard)가 제출한 다변수 함수임계점과 관련되어 있는 해석학정리이다. 다음과 같이 표현된다.[1]

증명의 개략[편집]

사실 사드의 정리는 다음 정리의 따름정리이다.[2]

  1. n차원 유클리드 공간의 열린 부분집합 G에서 R^n 으로 가는 n변수 함수 f = (f1, ..., fn)가 있다고 하자.
  2. 만약, f가 미분가능한 G의 점들을 임의로 모은 집합 E에 대하여 적당한 음이 아닌 실수 상수 M에 대하여 f의 야코비안 행렬식이 |J(f)| ≤ M을 만족한다면, E에서 \lambda^{*}(f(E)) \le M\lambda^{*}(E) 이 성립한다.(여기서 \lambda^{*}외측도의 기호)

이 정리에서 M = 0을 취하면 사드의 정리가 되므로, 이 정리를 증명하면 곧바로 사드의 정리를 증명할 수 있다. 이 정리는 다음과 같은 단계에 의해 증명할 수 있다.[2][1]

  1. 우선 E에서 임의의 양수 k에 대하여 적당한 양수 l이 존재하여 (0, l]에 속하는 모든 수 m에 대해 부등식 \lambda^{*}(f(B(x, m))) \le (|J(f)| + k)\lambda(B(x, m)) 이 성립한다는 것을 증명한다.
  2. 다음으로, E가 유계라고 가정할 수 있음을 증명한다.
  3. E가 유계라 가정하면, 적당한 열린 집합 H가 존재하여 임의의 양수 k에 대해 E ⊂ H ⊂ G와 \lambda(H) < \lambda^{*}(E) + k 을 만족한다.
  4. 1을 이용하면 임의의 x ∈ E에 대해 적당한 l(x) > 0이 존재하여 (0, l(x)]에 속하는 모든 m에 대해 B(x, m) ⊂ H이고, \lambda^{*}(f(B(x, m))) \le (M + k)\lambda(B(x, m)) 을 얻는다.
  5. E에 속하는 x와 (0, l(x)/5]에 속하는 m에 대하여 B(x, m)은 E에 대한 비탈리 조건을 만족한다. 따라서, 비탈리 덮음 보조정리를 이용하면 F에 속하는 적당한 교차하지 않는 열린 공들 B1, B2, ...에 대하여 어떤 영집합을 제외하면 E \subset \bigcup^{\infty}_{a=1} B_a 이 성립한다.
  6. 이상으로부터 \lambda^{*}(f(E)) \le (M+k)(\sum^{s-1}_{a=1}\lambda(B_a) + \sum^{\infty}_{a=s}5^n\lambda(B_a)) 이 성립함을 증명한다.
  7. 이상에서 분명히 \sum^{\infty}_{a=1}\lambda(B_a) \le \lambda(H) 이므로, 6의 부등식에서 s를 무한대로 가져가는 극한을 취하면 \lambda^{*}(f(E)) \le (M+k)\lambda(H) < (M+k)(\lambda^{*}(E) + k) 을 얻는데, k는 임의이므로 증명이 끝난다.

주석[편집]

  1. Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001, p.498.
  2. Ibid., pp.496-497.

참고 문헌[편집]

  • Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.