불완전 감마 함수

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수학에서, 불완전 감마 함수(不完全Γ函數, 영어: incomplete gamma function)는 감마 함수를 확장한 특수 함수로, 원래 감마함수의 정의에서 적분 구간을 변경한 것이다.

정의[편집]

상부 불완전 감마함수(上部不完全Γ函數, 영어: upper incomplete gamma function)는 다음과 같다.

\Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

하부 불완전 감마함수(下部不完全Γ函數, 영어: lower incomplete gamma function)는 다음과 같다.

\gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

성질[편집]

감마 함수의 정의에 따라 다음이 성립한다.

\gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)

부분적분을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

\Gamma(s,x)= (s-1)\Gamma(s-1,x) + x^{s-1} e^{-x}
\gamma(s,x) =(s-1)\gamma(s-1,x) - x^{s-1} e^{-x}

미분[편집]

  •  \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - \frac{x^{s-1}}{e^x}

Meijer의 G 함수의 특별한 경우에서[1]:

T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)
T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} } 언제 |z| < 1
  • \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)
  • \frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]
  • \frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.

참고 문헌[편집]

  1. K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]

바깥 고리[편집]