불완전 감마함수

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불완전 감마함수(incomplete gamma function)는 감마함수를 확장한 함수로, 원래 감마함수의 정의에서 적분 구간을 변경한 것이다.

적분 구간의 아래쪽을 변경한 경우 upper 불완전 감마함수로 부르며, 다음과 같이 정의한다.

\Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

구간의 위쪽을 변경한 경우 lower 불완전 감마함수로 부르며, 다음과 같이 정의한다.

\gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

성질[편집]

감마함수의 정의에 따라 \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s)가 성립한다.

부분적분을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

  • \Gamma(s,x)= (s-1)\Gamma(s-1,x) + x^{s-1} e^{-x}
  • \gamma(s,x) =(s-1)\gamma(s-1,x) - x^{s-1} e^{-x}


미분[편집]

  •  \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - \frac{x^{s-1}}{e^x}

Meijer의 G 함수의 특별한 경우에서[1]:

T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)
T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} } 언제 |z| < 1
  • \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)
  • \frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]
  • \frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.

참고 문헌[편집]

  1. K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]