불연속성의 분류

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

연속함수는 수학과 다른 응용 분야에서 매우 중요한 것들 중의 하나이다. 그렇지만, 모든 함수가 연속인 것은 아니다. 만약, 어떤 함수가 정의역의 어떤 한 점에서 연속이 아니라면, 보통 그 함수를 그 점에서 불연속성이 있는 함수라고 한다. 불연속함수의 모든 점의 집합은 이산집합 또는 조밀집합이 될 수도 있고, 아니면 함수의 전체 정의역이 될 수도 있다.

이 글에서는, 가장 간단한 단일 실변수 함수에 대한 불연속성의 분류에 대해 설명할 것이다.

불연속성의 분류[편집]

불연속함수 f : S \to \mathbb R, S \subset \mathbb R와 실수 c \in S 가 있다 하자. 이때 아래와 같은 성질을 만족하는 함수를 다음과 같이 분류한다.

1. \lim_{x \rightarrow c} f(x)가 존재하면 함수 f가 점 c에서 없앨 수 있는 불연속성(removable discontinuity)을 가지고 있다 한다.

2. \lim_{x \rightarrow c^+} f(x)\lim_{x \rightarrow c^-} f(x)가 존재하지만 같지 않으면 함수 f가 점 c에서 비약 불연속성 또는 뜀 불연속성(jump discontinuity)을 가지고 있다 한다.

3. \lim_{x \rightarrow c^+} f(x)또는 \lim_{x \rightarrow c^-} f(x)가 존재하지 않으면 함수 f가 점 c에서 본질적 불연속성(essential discontinuity)을 가지고 있다 한다.

4. \lim_{x \rightarrow c^+} f(x)또는 \lim_{x \rightarrow c^-} f(x)가 존재하지 않고, f가 어떤 \epsilon > 0\, 에 대해 빠진근방 N'(c;\epsilon)유계(bounded)면, 함수 f가 점 c에서 진동하는 불연속성(oscillating discontinuity)을 가지고 있다 한다.

5. \lim_{x \rightarrow c} | f(x) | = \infty면, 함수 f가 점 c에서 (pole)을 가지고 있다 한다.

[편집]

예 1, 없앨 수 있는 불연속성

1. 다음과 같은 함수를 보자.

f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-x&  \mbox{ for }  x>1\end{cases}

이 함수는 점 c = 1 에서 없앨 수 있는 불연속성을 가지고 있다.

예 2, 비약 불연속성 또는 뜀 불연속성

2. 다음과 같은 함수를 보자.

f(x)=\begin{cases}x^2 & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ for } x>1\end{cases}

이 함수는 점 c = 1 에서 비약 불연속성 또는 뜀 불연속성을 가지고 있다.

예 3, 본질적 불연속성

3. 다음과 같은 함수를 보자.

f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ for } x< 1 \\ 0 & \mbox { for } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ for } x>1\end{cases}

이 함수는 점 c = 1 에서 본질적 불연속성을 가지고 있다.

바깥 고리[편집]