불가촉 수

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불가촉 수(Untouchable Number)는 수학자 에르되시 팔에 의해 만들어진 개념으로, 어떤 자연수 n진약수들의 합으로도 나타내어질 수 없는 자연수 m을 불가촉 수라고 한다. 예를 들어 4는 불가촉 수가 아닌데, 4는 9의 진약수 1과 3의 합으로 표현될 수 있기 때문이다.

처음 열 개의 불가촉 수의 목록은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A005114)

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188

5는 유일한 홀수 불가촉 수로 생각되지만 증명되지 않았는데, 만약 골드바흐의 추측이 참이라면 증명이 된다. 또 2와 5를 제외한 모든 불가촉 수는 합성수이다. 그리고 어떤 완전수도 불가촉 수가 될 수 없는데, 그 이유는 완전수의 정의가 자기 자신의 진약수의 합인 수이기 때문이다.

불가촉 수의 개수는 무한한데, 이것은 에르되시 팔에 의해 증명되었다.