분자 궤도

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
H2 1sσ 의 분자 오비탈
O2 분자 궤도 도표

분자 오비탈(molecular orbital; MO)은 분자에서 전자의 양자적 배치를 기술하기 위한 수학 함수이다. 여러 이론들 중 하나이며, MO(Molecular Orbital) 이론이라고도 한다. 분자 오비탈은 보통 원자 오비탈혼성 오비탈을 합친 형태이다.

개요[편집]

분자 오비탈 이론 이론은 전자들이 원자들 간의 각각의 결합에 참여하는 것으로 보는 것이 아니라 전체 물질 속 핵의 영향에 의하여 움직이는 것으로 보아 분자 구조 속에서 정의하는 방법이다. 분자궤도의 형태와 대칭성을 이용하여 화학반응을 비롯한 다양한 화학현상을 설명하는데 사용된다.

물리적 의미[편집]

분자 오비탈 이론은 원자들의 전자 구름 간의 상호작용에서 시작된다. 수소 분자를 예로 들자. 이 분자는 양성자 두개와 전자 두개로 이루어져 있다. 만약 두전자의 위상이 같다면, 두 전자 구름은 합쳐지고 하나(로 보이는)의 새로운 전자 구름을 형성하게 된다. 이 전자 구름의 궤도 함수를 '시그마 1s 결합 궤도함수'라고 한다. 만약에 두 전자의 위상이 다르다면, 두 전자 구름 사이에는 반발력이 생기고 마디면이 있는 전자 구름 형태로 바뀐다. 이 전자 구름의 궤도함수를 '시그마 1s* 궤도 함수'라고 한다. 그리고 반발력에 의해 생긴 마디면을 node 라고 한다.

역사[편집]

1927년 에드워드 콘턴(1902~1974)은 수소분자에 있는 내부에너지를 핵간 척력, 전자간 척력, 두 수소 원자핵이 한 전자에 미치는 인력, 두 수소 원자핵이 다른 쪽 전자에 미치는 인력 등 네 가지 에너지의 결합의 설명이 로버트 밀리컨에 의하여 발전하여 생겨났다. 분자 오비탈 이론은 원자가 결합 이론과 달리 슈뢰딩거의 파동함수에 보강간섭과 상쇄간섭 개념을 도입해 원자 오비탈과 독립적인 분자 오비탈을 도출한다. 그리고 원자오비탈과 독립적인 분자 오비탈을 원자 오비탈의 선형조합을 통해 새로이 설정하고 여기에 각 원자의 전자를 재배치한다. 이 이론에 따르면, 분자 전체를 에워싼 분자 오비탈에 위치한 전자는 어느 특정 원자에 편재되지 않게 된다. 분자 오비탈 이론은 1928년 더글라스하트리(1897~1958)와 블라디미르 포크(1898~1974)가 하트리-포크 방법을 제시해서 다원자 분자의 전자분포함수에 대한 계산의 틀을 제안하고, 1929년에는 존 레나드 존스(1894~1974)가 분자오비탈의 구심점이 되는 LCAO개념을 도입하였다. 이 이론은 로버트 밀리컨에 의해 체계적으로 정립되었다.

분자 궤도의 명명법[편집]

분자 오비탈은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있고 각 분자 오비탈의 이름은 다음과 같이 정해진다.[1]

(\sigma_{u1s}^*)^1
  1. \sigma\pi는 핵간 축 주위의 전자에 대한 각운동량 성분을 나타낸다. 이는 핵간 축에 수직인 평면에서 봤을 때 축 주위에 전자 밀도가 어떻게 분포되어 있는지를 말해준다. \sigma\pi가 나타내는 각운동량의 값은 다음과 같다.
    \sigma : 각운동량 성분 = 0
    \pi : 각운동량 성분 =  \pm \frac {h} {2\pi}
  2. 아래 첨자 g,u는 관찰점을 분자 중심에 대하여 뒤집을 때, 파동함수의 특이성이 어떻게 변화하는지를 설명한다. 분자의 중심을 기준으로 대칭이면 g(gerade : 짝수), 비대칭이면 u(ungerade : 홀수)로 표기한다. 즉, 원점을 분자 중심에 놓은 직교 좌표라 생각하고 (x,y,z)와 (-x,-y,-z)의 점에서 파동함수를 비교하면 된다. 만약 파동함수의 부호가 동일하면 g, 부호가 다르면 u로 표기한다.
  3. *는 반결합 오비탈을 표시한다. 결합 MO(bonding)의 경우는 공란으로 비워두고, 반결합 MO (anti-bonding MO)의 경우에 * 표시를 한다. 반결합 오비탈은 핵 사이에 훨씬 적은 전자 밀도를 가지며, 밀도는 핵간의 마디에서 0이 된다.
  4. g 또는 u 바로 옆에 아래첨자로 표기된 문자는 MO에 참여한 AO(atomic orbital)의 종류를 의미한다.
  5. 괄호 바깥에 위첨자로 표기된 숫자는 MO에 있는 전자수를 의미한다.

동종 이원자 분자의 분자 궤도 표기[편집]

동종 이원자 분자의 분자 궤도 함수 중 2p 오비탈끼리의 궤도
S오비탈
\sigma_{g2S}=C_g(2S^A+2S^B)
\sigma_{g2S}^*=C_u(2S^A-2S^B)
Pz오비탈
\sigma_{g2P_z}=C_g(2P_z^A-2P_z^B)
\sigma_{g2P_z}^*=C_u(2P_z^A+2P_z^B)
Px오비탈, Py오비탈
\pi_{u2P_x}=C_u(2P_x^A+2P_x^B)
\pi_{g2P_x}^*=C_g(2P_x^A-2P_x^B)
\pi_{u2P_y}=C_u(2P_y^A+2P_y^B)
\pi_{g2P_y}^*=C_g(2P_y^A-2P_y^B)


논의[편집]

완전히 정확한 값은 아니지만, 정성적으로 유용한 분자 구조의 의논을 위해서, 분자 궤도는 '원자 궤도 함수 선형 결합' (Linear Combination of Atomic Orbitals;LCAO) 또는 '보른-오펜하이머 근사법'(Born-Oppenheimer approximation)을 통해 얻어질 수 있다.

원자 궤도 함수 선형 결합 (Linear Combination of Atomic Orbitals;LCAO)[편집]

LCAO는 분자 오비탈을 계산하기 위한 근사법이다.[2] 하나의 원자 안에서는 파동함수로 전자의 배치를 표현할 수 있는데, 화학결합 후에 이러한 파동함수는 원래 각각의 원자들이 가지고 있던 파동함수와 달라진다. 이를 표현하기 위해 분자 오비탈의 수가 선형 확장을 포함하는 원자 오비탈의 수와 같다고 가정한 뒤, 다음과 같은 방식으로 원자 오비탈들을 결합하여 분자 오비탈을 근사한다.

:
 \psi_i = \sum_r c_{ri} \psi_i = c_{1i}\psi_i+c_{2i}\psi_i+c_{3i}\psi_i+...

위 식에서 c_{ri}는 상수인데, 각 원자 오비탈들이 분자 오비탈에 얼마나 기여했는가를 나타내는 기여도이다. 이 기여도는 시스템의 총 에너지를 최소화하는 적절한 상수이며, 이를 결정하는 방법은 하트리-폭 근사법이다. 또한 각 핵들과 하나의 전자만을 묶어 원자 오비탈이라고 생각한다. 즉, 화합물에 10개의 전자가 있으면 10개의 원자 오비탈들이 있어야 하는 것이다. 보통 이러한 근사는 수소나 헬륨 형태의 원자가 결합된 화합물, 즉 화합물을 이루는 원자들의 원자번호가 작고 전자 수가 적을수록 정확해진다.

1929년 존 레너드존스 경이 H와 He의 조합으로 이중분자를 만들고, 이 결합을 표현하기 위해 LCAO를 발표하였는데, 라이너스 폴링의 경우 H2분자를 계산하면서 이보다 앞서서 이 방법을 사용하였다.[3]

하지만 컴퓨터 화학의 발달 이후 LCAO는 최적화된 파동함수로 여겨지지 않게 되었다. 대신 현대적인 방법으로 얻은 결과를 예측하고 합리화하는데 유용한 정성적인 분석의 수단으로 여겨진다.


보른-오펜하이머 근사법 (Born-Oppenheimer approximation)[편집]

보른-오펜하이머근사는 전자의운동과 핵의 운동을 분리시킬 수 있다는 가설이다. 즉, 분자의 파동함수를 전자의 파동함수와 핵의 파동함수로 분리시킬 수 있다는 뜻이다. 이는 핵의 질량이 전자의 질량의 1833배나 무겁기 때문에 핵의 위치를 정지해 있다고 보는 것이다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같다.

: 
\psi_{molecule} (\vec r_{i},\vec R_{j}) = \psi_{electrons}(\vec r_{i}, \vec R_{j}) \times \psi_{nuclei}(\vec R_{j})

이를 설명하기 위해 가장 간단한 분자인 H_2 ^{+}로 예로 들겠다. 두 핵사이의 거리를 R_{AB}이라 하고, 전자와 핵사이의 거리를 r_a, r_b라 한다. 전자와 핵의 위치는 아래의 그림과 같게 배치한다.

파일:보른-오펜하이머 근사
전자와 핵의 위치

이 때 이 분자의 위치에너지 를 구해보면 보면 아래와 같다.

:
V(R_{AB}) = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon _{0} R_{AB}} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon _{0} r_{A}} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon _{0} r_{B}}

위치에너지 에서 값을 바꿔가면서 그래프를 그려보면 아래와 같은 그래프가 나온다. 가장 반발력이 최소가 되는 지점에서 두 원자는 결합하게 되며 이때의 값을 분자 핵간 거리라 한다. 이는 보른-오펜하이머 근사를 통해 두 원자가 결합하여 분자를 만들 때 핵과 핵사이의 거리가 일정하기 때문에 얻을 수 있는 결과이다.

H  _{2} ^{+}의 분자 오비탈(molecular orbital; MO)[편집]

분자 궤도가 갖는 에너지[편집]

H2+ 분자 궤도 도표

분자 오비탈 이론을 통해 H  _{2} ^{+}의 에너지를 구하자. 슈뢰딩거 방정식에서 파동방정식의 해는 다음과 같이 표시될 수 있다.

\Psi =c  _{A}  \psi   _{A} +c  _{B}  \psi   _{B}

여기서 H  _{2} ^{+}의 대칭성에 의해 c  _{A}^2=c  _{B}^2이다. 계산상의 편의를 위해  c  _{A}^2=c  _{B}^2=c _{0}^2 라고 하자. 또한 S  _{AB}  =   \int _{} ^{} {\psi   _{A} ^{*}  \psi   _{B}} d \tau 를 중첩 정분이라고 정의하자.

파동함수의 정의에 의해

 \int |\Psi_{0}|^2\, d\tau = 1= c   _{0} ^{2}  (  \int | \psi    _{A} |    ^{2} d \tau +   \int | \psi    _{B} |   ^{2} d \tau +   \int \psi    _{A} ^{*}   \psi    _{B} d \tau  +   \int \psi    _{A}   \psi    _{B} ^{*} d \tau)

=c   _{0} ^{2}(1+1+S_{AB}+S_{AB}^{*} = 2c   _{0} ^{2}(1+S_{AB})

따라서  c_{0}=\left[ 2\left( 1+S_{AB}\right) \right] ^{-\dfrac {1}{2}} 이 때 슈뢰딩거 방정식에서 좌변을 헤밀토니안, 우변을 에너지의 항으로 놓는다면 H  _{2} ^{+}의 에너지는 다음과 같다.


 E _{0} (R)= \int \psi _{0} ^{*} H \psi _{0} d \tau = \frac
{\int \psi _{A} ^{*} H \psi _{A} d \tau + \int \psi _{A} ^{*} H \psi _{B} d \tau 
 + \int  \psi _{B} ^{*} H \psi _{A} d \tau + \int \psi _{B} ^{*} H \psi _{B} d \tau }  {2(1+S _{AB})}
=\frac {H _{AA} +H _{AB} +H _{BA} +H _{BB}} {2(1+S _{AB)}}
=\frac {H _{AA} +H _{AB}} {1+S _{AB}}

여기서 최종항에 있는 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 H _{AA} = \int {\psi _{A} ^{*}( \frac  {p ^{2}}  {2m} - \frac {e ^{2}} {4 \pi \epsilon _{0} r _{A}} ) \psi _{A}} d \tau +\frac  {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} R} \int  {\psi _{A} ^{*}} \psi _{A} d \tau - \int{\frac {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} r _{B}} \psi _{A} ^{*} \psi _{A} d \tau } =E _{H} (1s)+ \frac {e ^{2}} {4 \pi \epsilon _{0} R} +J
H _{AB} = \int {\psi _{A} ^{*}( \frac  {p ^{2}}  {2m} - \frac {e ^{2}} {4 \pi \epsilon _{0} r _{B}} ) \psi _{B}} d \tau +\frac  {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} R} \int  {\psi _{A} ^{*}} \psi _{B} d \tau - \int{\frac {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} r _{A}} \psi _{A} ^{*} \psi _{B} d \tau }=\int\psi_{A}^{*}E_{H}(1s)\psi_{B}d\tau+\frac  {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} R}S_{AB}+K=S_{AB}[E_{H}(1s)+\frac  {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} R}]+K

또한 이 식에서 J와 K는 다음과 같다.

 J=-\int\frac  {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} r_{B}}\psi_{A}^{*}\psi_{A}d\tau
 K=-\int\frac  {e ^{2}}  {4 \pi \epsilon _{0} r_{A}}\psi_{A}^{*}\psi_{B}d\tau

바닥 상태의 오비탈은 \Psi_{0}=\frac {\psi_{A}(1s)+\psi_{B}(1s)}{c_{0}} 들뜬 상태의 오비탈은 \Psi_{1}=\frac {\psi_{A}(1s)-\psi_{B}(1s)}{c_{0}}로 나타낼 수 있다. 이에 따른 바닥 상태의 에너지 값은

E_{0}( R) =\dfrac {E_{H}\left( 1s\right) +\dfrac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R}+J+S_{AB}\left[ E_{H}\left( 1s\right) +\dfrac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R}\right] +K}{1+S_{AB}}
=E_{H}\left( 1s\right) +\dfrac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}R}+\dfrac {J+K}{1+s_{AB}}

들뜬 상태의 에너지 값은

E_{1}(R)=\frac{H_{AA}-H_{AB}}{1-S_{AB}}=E_{H}(1s)+\frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}R}+\frac{J-K}{1-S_{AB}}

이와 같은 방식으로 다양한 상태의 H  _{2} ^{+}의 에너지를 구할 수 있다.

분자 궤도의 파동 함수[편집]

\Psi =c  _{A}  \psi   _{A} +c  _{B}  \psi   _{B}에서 정확한 파동 함수를 구하기 위해 c_{A}c_{B}를 구하면 다음과 같다.
\begin{pmatrix} \alpha-E & \beta-ES \\ \beta-ES & \alpha-E \end{pmatrix}{n \choose k}=0

위 행렬식을 통해 아래와 같이 나타낼 수 있다.

c_A \left ( \alpha-E \right) + c_B \left ( \beta-ES \right )=0
c_A \left ( \beta-ES \right) + c_B \left ( \alpha-E \right )=0

위 두 식을 연립하여 E를 표현하면 다음과 같다.

E_+ = \frac {\alpha+\beta} {1+S}, E_- = \frac {\alpha-\beta} {1-S}

따라서 E_+ 인 경우 c_A=c_B이며, E_-인 경우 c_A=-c_B가 된다.  \int \psi^2 d\tau = 1 이므로

 c \approx \frac {1} {\sqrt 2}, (S \approx 0)
 \psi_+ = \frac {1} {\sqrt 2} ( \phi_{AA} + \phi_{AB} ), \psi_- = \frac {1} {\sqrt 2} ( \phi_{AA} - \phi_{AB} )


같이 보기[편집]

출처[편집]

  1. 옥스토비의 일반화학 제 6판
  2. Huheey, James. Inorganic Chemistry: Principles of Structure and Reactivity
  3. Robert S. Mulliken's Nobel Lecture, Science, 157, no. 3784, 13 - 24, (1967)