분배 함수 (통계역학)

분배 함수(分配函數, 영어: partition function) Z는 통계 역학에서 열역학적 평형에 있는 계의 통계적 성질을 계산하는 데 쓰는 중요한 개념이다. 분배 함수는 온도나 부피와 같은 열역학적 변수의 함수다. 자유 에너지, 엔트로피, 압력과 같은 열역학적 계의 거시 변수는 대부분 분배 함수나 분배 함수의 미분으로 표시할 수 있다.

분배 함수는 앙상블의 종류에 따라 몇 가지로 나뉜다. 바른틀 앙상블(canonical ensemble)은 일정한 온도, 부피, 입자의 개수를 유지하면서 주위 환경과 열을 교환할 수 있는 계에 적용되며, 바른틀 분배 함수로 기술한다. 큰 바른틀 앙상블(grand canonical ensemble)은 일정한 온도와 부피, 화학 퍼텐셜을 유지하면서 주위 환경과 열과 입자를 교환할 수 있는 계에 적용되며, 큰 바른틀 분배 함수로 기술한다. 기타 다른 분배 함수는 각각 다른 환경에서 정의한다.

바른틀 분배 함수

정의

온도와 계의 부피, 계 내부에 있는 입자의 수가 고정된 닫힌 계로 이루어진 앙상블을 바른틀 앙상블이라 한다. 계의 모든 미시상태에 일련 번호 $j$($j$=1,2,3, ...)를 붙이고, 계가 미시상태 $j$에 있을 때 계의 총 에너지를 $E_{j}$로 표기하자. 일반적으로 계의 불연속적인 양자상태를 미시상태로 간주한다.

바른틀 분배함수는 다음과 같다.

$Z=\sum _{j}e^{-\beta E_{j}}$

여기서 β는 보통 다음과 같이 정의한다.

$\beta \equiv {\frac {1}{k_{B}T}}$

T는 계의 온도를 뜻하며, k_B은 볼츠만 상수다. 미시상태에 겹침(degeneracy) 상태가 존재할 경우, 분배함수는 다음과 같이 쓴다.

$Z=\sum _{j}g_{j}\cdot e^{-\beta E_{j}}$

여기서 $g_{j}$는 겹침 인자다..

물리적 의미

분배 함수는 온도 T와 미시상태 i의 에너지 E_i의 함수다. 또한 미시상태의 에너지는 입자의 개수, 계의 부피와 같은 열역학적 변수의 함수다. 미시상태의 에너지를 계산해서 분배함수를 구성할 수 있으면, 그 분배함수에서 계의 다른 열역학적 특성을 계산해낼 수 있다.

또한 분배 함수에는 중요한 통계적 의미가 있다. 계가 미시상태 j에 있을 확률 P_j은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$P_{j}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{j}}.$

여기서 $e^{-\beta E_{j}}$는 볼츠만 인자다. 여기서 분배함수는 확률값의 합을 1로 만드는 틀맞춤(Normalization) 상수로 쓰였다.

$\sum _{j}P_{j}={\frac {1}{Z}}\sum _{j}e^{-\beta E_{j}}={\frac {1}{Z}}Z=1.$

"분배 함수"라는 이름은 각각 다른 미시상태의 확률을 '분배'한다고 해서 붙여진 이름이다. Z란 문자는 독일어 단어 Zustandssumme에서 왔으며 "상태의 합(영어: "sum over states")"이란 뜻이다.

참조

• Huang, Kerson (1990). 《Statistical Mechanics》. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-81518-7. 
• Pathria, R.K. (1996). 《Statistical Mechanics, Second Edition》. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2469-5.