분기 (동역학계)

분기의 예. 매개변수 $\alpha$가 변화하면서 임계값 $\alpha =0$에 다다르면 동역학계의 궤적의 모양이 크게 변화한다. $\alpha <0$인 경우 평형점이 없지만, $\alpha >0$인 경우 두 개의 평형점이 존재한다.

동역학계 이론에서 분기(分岐, 영어: bifurcation)는 어떤 매개변수에 의존하는 동역학계의 궤도 따위가, 특정 매개변수 값에서 급격히 변하는 현상이다. 동역학계를 분기를 통하여 연구하는 수학 분야를 분기 이론(分岐理論, 영어: bifurcation theory)이라고 한다.

정의

분기(分岐, 영어: bifurcation)는 국소적 분기(영어: local bifurcation)와 대역적 분기(영어: global bifurcation)가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다. 전자는 선형화 이론으로 다룰 수 있지만, 후자는 더 복잡하다.

국소적 분기

어떤 $n$차원 리만 다양체 $M$ 위에, 매개변수 $\lambda \in \mathbb {R}$에 의존하는 연속 시간 동역학계

$f\colon \mathbb {R} \times M\to TM$

${\dot {x}}^{\mu }=f^{\mu }(\lambda ,x)$

가 주어졌다고 하자. 이 동역학계의 고정점은 $f^{\mu }(\lambda ,x)=0$이 되는 $(\mu ,x)\in \mathbb {R} \times M$이다. 각 고정점 $(\lambda ,x)\in \mathbb {R} \times M$에서 야코비 행렬

$\nabla _{\mu }f^{\nu }|_{\lambda ,x}\colon T_{x}M\to T_{x}M$

을 정의할 수 있다. 이를 $n\times n$ 실수 행렬로 간주할 때, 만약 $\nabla _{\mu }f^{\nu }|_{\lambda ,x}$가 실수 성분이 0인 복소수 고윳값을 갖는다면, 동역학계 ${\dot {x}}^{\mu }=f^{\mu }(\lambda ,x)$가 $(\lambda ,x)$에서 분기한다고 한다.^{:996, §II.A.3} 이 경우, 두 가지 경우를 구분할 수 있다.

• 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, 영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
• 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 호프 분기(Hopf分岐, 영어: Hopf bifurcation)라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 고정점이 극한 주기 궤도로 변화하게 된다.

이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 동역학계

$f\colon \mathbb {R} \times M\to M$

$x\mapsto f(\lambda ,x)$

가 주어졌다고 하자. 이 동역학계에서 고정점은 $f(\lambda ,x)=x$가 되는 $(\mu ,x)\in \mathbb {R} \times M$이다. 각 고정점 $(\lambda _{0},x_{0})\in \mathbb {R} \times X$에 대하여, 야코비 행렬

$(df)_{\nu }^{\mu }|_{(\lambda ,x)}\colon T_{x}M\to T_{f(\lambda ,x)}M$

을 정의할 수 있다. 이를 $n\times n$ 실수 행렬로 간주할 때, 만약 $df|_{(\lambda ,x)}$가 절댓값이 1인 복소수 고윳값을 갖는다면, $f$가 $(\lambda ,x)$에서 분기한다고 한다.^{:998, §II.B.2} 이 경우, 다음과 같이 세 가지 경우가 가능하다.

• 만약 절댓값이 1인 고윳값이 1이라면, 이는 안정 상태 분기(安定狀態分岐, 영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
• 만약 절댓값이 1인 고윳값의 쌍이 $\exp(\pm i\theta )$이라면 ($\theta \neq 0,\pi$), 이는 호프 분기(Hopf分岐, 영어: Hopf bifurcation)라고 한다.
• 만약 절댓값이 1인 고윳값이 −1이라면, 이는 주기배가 분기(週期倍加分岐, 영어: period-doubling bifurcation)라고 한다. 이는 연속 시간 동역학계에서 나타나지 않는 분기화이다.

대역적 분기

대역적 분기(영어: global bifurcation)는 주기 궤도(영어: periodic orbit)나 극한 주기 궤도, 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.

참고 문헌

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• Tresser, Charles; Coullet, Pierre; de Faria, Edson (2014). “Period doubling”. 《Scholarpedia》 (영어) 9 (6): 3958. doi:10.4249/scholarpedia.3958. ISSN 1941-6016. 

외부 링크

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• “Branching of solutions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Qualitative theory of differential equations”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Saddle-node bifurcation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hopf bifurcation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bifurcation theory”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hopf bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pitchfork bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transcritical bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Period doubling”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Takens-Bognanov bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 혼돈 이론
• 파국 이론