부호함수

시그넘 함수 sgn(x)

부호함수 (signum function; sign function)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 sgn을 사용한다.

정의

부호함수는 복소수 범위에서 다음과 같이 정의한다.

$\sgn z = \begin{cases} \frac{z}{|z|}\ & (z \in \mathbb{C}, z \ne 0), \\ 0 & (z = 0). \end{cases}$

특히, 실수 x에 대하여

$\sgn x = \begin{cases} -1 & (x < 0), \\ 0 & (x = 0), \\ 1 & (x > 0). \end{cases}$

이다.

복소수 z에 부호함수를 취하면 복소평면상의 단위원의 점으로 표현된다. 따라서

$\sgn z = \exp(i \operatorname{arg} z)$

(arg는 복소평면의 실수축과 이루는 각을 표현하는 함수를 의미)가 성립한다.

성질

정의에 의하여 모든 복소수 x는 부호함수와 절대값의 곱으로 표현할 수 있다.

$x=|x|\sgn x\, \qquad (1)$

또한, 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$x = x|\sgn x| \qquad (2)$

$|x| = x\sgn \frac{1}{x} \ (x \ne 0)\ \qquad (3)$

$|x| = |x||\sgn x| \qquad (4)$

부호함수의 곱셈에서 다음과 같은 관계가 성립한다.

$\sgn xy = \sgn x\sgn y \qquad (5)$

$\sgn \frac{y}{x}\ = \frac{\sgn y}{\sgn x} \ (x \ne 0)\ \qquad (6)$

$\sgn x^y = (\sgn x)^y \qquad (7)$

특히 (5)에 의해

$\sgn x\sgn \frac{1}{x}\ = 1\ (x \ne 0) \qquad (8)$

또 x가 실수일 때

$\sgn x = \sgn \frac{1}{x}\ (x \in \mathbb{R}, x \ne 0) \qquad (9)$ 이고

(3), (9)에 의해

$|x| = x\sgn x\ (x \in \mathbb{R}) \qquad (10)$ 가 성립한다.

부호함수의 합성에서 다음이 성립한다.

$\sgn (\sgn (\sgn (... (\sgn x)...))) = \sgn x \qquad (11)$

부호함수에 절댓값을 취하면 다음과 같다.

$|\sgn x| = \begin{cases} 1 & (x \ne 0), \\ 0 & (x = 0). \end{cases} \qquad (12)$

부호함수는 절대값함수(x = 0일 때는 제외)를 미분한 것으로 표현할 수 있다.

${d|x| \over dx} = \sgn x$

함께 보기

• 부호
• 절대값
• 양수와 음수