부호함수

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시그넘 함수 sgn(x)

부호함수 (signum function; sign function)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 sgn을 사용한다.

정의[편집]

부호함수는 복소수 범위에서 다음과 같이 정의한다.

\sgn z = \begin{cases}
\frac{z}{|z|}\ & (z \in \mathbb{C}, z \ne 0), \\
0 & (z = 0). \end{cases}


특히, 실수 x에 대하여

\sgn x = \begin{cases}
-1 & (x < 0), \\
0 & (x = 0), \\
1 & (x > 0). \end{cases}

이다.


복소수 z에 부호함수를 취하면 복소평면상의 단위원의 점으로 표현된다. 따라서

\sgn z = \exp(i \operatorname{arg} z)

(arg는 복소평면의 실수축과 이루는 각을 표현하는 함수를 의미)가 성립한다.

성질[편집]

정의에 의하여 모든 복소수 x는 부호함수와 절대값의 곱으로 표현할 수 있다.

x=|x|\sgn x\, \qquad (1)

또한, 다음과 같이 표현할 수도 있다.

x = x|\sgn x|  \qquad (2)
|x| = x\sgn \frac{1}{x} \ (x \ne 0)\  \qquad (3)
|x| = |x||\sgn x|  \qquad (4)


부호함수의 곱셈에서 다음과 같은 관계가 성립한다.

\sgn xy = \sgn x\sgn y  \qquad (5)
\sgn \frac{y}{x}\ = \frac{\sgn y}{\sgn x} \ (x \ne 0)\  \qquad (6)
\sgn x^y = (\sgn x)^y  \qquad (7)

특히 (5)에 의해

\sgn x\sgn \frac{1}{x}\ = 1\ (x \ne 0)  \qquad (8)


또 x가 실수일 때

\sgn x = \sgn \frac{1}{x}\ (x \in \mathbb{R}, x \ne 0) \qquad (9) 이고

(3), (9)에 의해

|x| = x\sgn x\ (x \in \mathbb{R}) \qquad (10) 가 성립한다.


부호함수의 합성에서 다음이 성립한다.

\sgn (\sgn (\sgn (... (\sgn x)...))) = \sgn x \qquad (11)


부호함수에 절댓값을 취하면 다음과 같다.

|\sgn x| = \begin{cases}
1 & (x \ne 0), \\
0 & (x = 0). \end{cases} \qquad (12)


부호함수는 절대값함수(x = 0일 때는 제외)를 미분한 것으로 표현할 수 있다.

{d|x| \over dx} = \sgn x


함께 보기[편집]