복소 다양체

미분기하학에서, 복소 다양체(複素多樣體, complex manifold)는 국소적으로 복소 공간 $\mathbb C^n$으로 간주할 수 있는 위상공간이다.

정의

복소 다양체 $(M,\{U_\alpha\},\{\phi_\alpha\}\})$는 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• 위상공간 $M$
• $M$의 열린 덮개 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in I}$
• 각 $U_\alpha$에 대하여, 연속 함수 $\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb C^n$. 여기서 정수 $n$은 복소 다양체의 차원이다. 함수 집합 $\{\phi_\alpha\}_{\alpha\in I}$를 좌표근방계(atlas)라고 한다.

좌표근방계는 다음 조건을 만족하여야 한다.

• $U_\alpha\cap U_\beta\ne\varnothing$인 $\alpha,\beta$에 대하여, 함수 $\phi_{\alpha\beta}=\phi_\beta\circ\phi_\alpha^{-1}\colon f_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to f_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)$가 정칙함수이어야 한다. 이 함수들을 추이사상(推移寫像,transition map)이라고 한다.

거의 복소 구조

특수한 짝수 차원의 실수 다양체는 복소 다양체의 구조를 가질 수 있다.

실수 다양체 $M$ 위의 거의 복소 구조(almost complex structure)는 다음 조건을 만족하는 다발 사상 $J\colon TM\to TM$이다.

• $J^2=-1$.

오직 짝수 차원의 실수 다양체만이 거의 복소 구조를 지닐 수 있다. 거의 복소 구조를 가진 실수 다양체 $(M,J)$를 거의 복소 다양체(almost complex manifold)라고 한다.

다음 조건을 만족하는 거의 복소 구조 $J$를 복소 구조(complex structure)라고 한다. 임의의 벡터장 $X,Y\in\Gamma(TM)$에 대하여,

• $N_J(X,Y) \equiv [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY] - [JX, JY] = 0$.

이 $N_J$를 네이엔하위스 텐서(Nijenhuis tensor)라고 하며, 네덜란드의 수학자 알버르트 네이엔하위스(네덜란드어: Albert Nijenhuis)가 1951년 도입하였다.

복소 구조를 갖춘 $2n$차원의 실수 다양체는 $n$차원의 복소 다양체와 같으며, $J_p\colon T_pM\to T_pM$은 $i=\sqrt{-1}$를 곱하는 것으로 생각할 수 있다.

예

• 복소 유클리드 공간 $\mathbb C^n$은 $n$차원 복소 다양체이다.
• 리만 곡면은 1차원 복소 다양체이다.
• 에르미트 다양체, 켈러 다양체, 칼라비-야우 다양체 등은 복소 다양체의 특수한 경우다.
• $GL(n,\mathbb C)$나 $Sp(n,\mathbb C)$와 같은 복소 리 군도 복소 다양체이다.
• 복소 사영 공간 $\mathbb CP^n$도 복소 다양체를 이룬다.