복소미분형식

복소미분형식(複素微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분형식이다. 실수다양체 위의 미분형식과는 달리, 전칙형식, 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

전개

n차원의 복소다양체 $M$을 생각하자. 국소적으로 복소좌표 $z^i,\bar z^i$ ($i=1\dots n$)를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수다양체와 마찬가지로 형식 $dz^i$, $d\bar z^i$를 정의할 수 있다. 일반적인 복소미분형식은

$\alpha=dz^i\wedge dz^j\wedge\dots d\bar z^k\wedge d\bar z^l\wedge\dotsb$

꼴의 형식을 취한다. 여기서 $dz$가 $p$ 개, $d\bar z$가 $q$개 있으면 이를 $(p,q)$-형식으로 부른다. 이 차수 $(p,q)$는 전칙적 좌표변환에 대하여 바뀌지 않으므로, $(p,q)$-형식의 집합은 복소 벡터다발 $\Omega^{p,q}(M)$을 이룬다. 이를 층으로 볼 수도 있다.

돌보 코호몰로지

실수미분형식의 경우와 마찬가지로 외미분 $d$를 정의할 수 있다. 일반적으로 이는

$d\colon\Omega^{p,q}\to\Omega^{p+1,q}\oplus\Omega^{p,q+1}$

과 같다. 복소 구조에 의하여 이는 다음 두 연산자의 합으로 쓸 수 있다.

$d=\partial+\bar\partial$

$\partial\colon\Omega^{p,q}\to\Omega^{p+1,q}$; $\partial\colon\Omega^{p,q}\to\Omega^{p,q+1}$

여기서 $\partial$과 $\bar\partial$을 돌보 연산자(프랑스어: opérateur de Dolbeault)라고 부른다.

국소적 좌표로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 $(p,q)$-형식 $\alpha$의 경우,

$\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}$

그 돌보 연산자는 다음과 같다.

$\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J$

$\bar{\partial}\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J.$

여기서 $I$, $J$는 다중지표(multiindex)다.

이들은 다음 성질을 만족한다.

$\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.$

따라서 돌보 연산자로 코호몰로지를 정의할 수 있다. 통상적으로 $\bar\partial$을 쓴다. 즉 다음과 같은 사슬복합체를 생각하자.

$\Omega^{p,0}\stackrel{\bar\partial_0}\to\Omega^{p,1}\stackrel{\bar\partial_1}\to\Omega^{p,2}\stackrel{\bar\partial_2}\to\cdots$

이 경우 다음과 같은 $(p,q)$-형식의 동치류 공간을 정의한다.

$H_{\bar\partial}^{p,q}=\ker\partial_q/\operatorname{im}\,\partial_{q-1}$

이를 돌보 코호몰로지(프랑스어: cohomologie de Dolbeault)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 $h^{p,q}$는 다음과 같다.

$h^{p,q}=\dim H_{\bar\partial}^{p,q}$

호지 수는 0, 양의 정수, 또는 $\infty$다. 만약 복소다양체가 컴팩트하면 호지 수는 유한하다. 호지 수는 실수다양체의 베티 수와 유사한 개념이다.

정칙형식

p-정칙형식(正則形式, 영어: holomorphic form)은 $(p,0)$-형식이다. 즉, 국소좌표로는 p-정칙형식 $\alpha$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I$

여기서 $f_I$는 정칙함수다. 또한, 정칙형식은

$\bar\partial\alpha=0$

을 만족하는 형식 $\alpha$라고 생각할 수도 있다. $p$-정칙형식의 집합은 벡터다발 및 층 $\Omega^p$를 이룬다.

돌보 코호몰로지는 정칙형식층에 대한 체흐 코호몰로지(Čech cohomology)와 같다는 사실을 보일 수 있다.

$H_{\bar\partial}^{p,q}(M)\cong H^q(M,\Omega^p)$

이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 하며, 실수형식의 드람 정리를 복소형식에 대하여 확장한 것이다.