별모양 영역

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별모양 영역의 예.

수학에서, 별모양 영역(-模樣領域, 영어: star-shaped domain)은 유클리드 공간의 특정한 꼴의 부분공간이다. 대략, 별모양 영역을 벽으로 둘러싸였다고 생각하면, 어떤 원점이 존재하여 그 원점으로부터 벽까지의 시선이 가려지지 않는 영역이다.

정의[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n 속의 별모양 영역 S\subset\mathbb R^n는 다음 성질을 만족한다. 적어도 하나의 어떤 \mathbf x_0\in S가 존재하여, 모든 \mathbf x\in S\alpha\in[0,1]에 대하여,

\alpha(\mathbf x-\mathbf x_0)+\mathbf x_0\in S

이다. (이러한 원점은 유일하지 않을 수 있으며, 별모양 영역을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.)

마찬가지로 복소 벡터공간 \mathbb C^n에 대해서도 유사하게 별모양 영역을 정의할 수 있다.

성질[편집]

  • 별모양 영역의 폐포는 별모양 영역이다. 그러나 별모양 영역의 내부는 별모양이지 않을 수 있다.
  • 모든 별모양 영역은 축약가능공간(contractible space)이며, 따라서 단일연결공간이다.
  • 공집합이 아닌 모든 볼록공간은 별모양 영역이나, 그 역은 성립하지 않는다. (공집합은 볼록공간이지만 별모양 영역이 아닌 유일한 집합이다.)
  • 별모양 영역들의 합집합이나 교집합]]은 별모양이 아닐 수 있다.
  • \mathbb R^n 속에서, 공집합이 아닌 열린 별모양 영역은 \mathbb R^n미분동형이다.

참고 문헌[편집]

  • (영어) Stewart, Ian, David Tall (1983년). 《Complex Analysis》. Cambridge University Press. MR0698076. ISBN 0-521-28763-4
  • (영어) Smith, C.R. (1968년 4월). A characterization of star-shaped sets. 《American Mathematical Monthly》 75 (4): 386. JSTOR 2313423. MR0227724.

바깥 고리[편집]