베셀 함수

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수학에서, 베셀 함수(Bessel function)는 헬름홀츠 방정식원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다.

정의[편집]

베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식의 해 y(x)다.

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

여기서 \alpha는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 \alpha차수의 베셀 방정식(Bessel equation)이라고 한다.

베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 두 개의 선형 독립인 해를 가진다. \alpha가 정수일 경우, 두 해 이 가운데 하나는 x\to 0에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind) J_\alpha(x)라고 하고, 발산하는 경우를 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind) Y_\alpha(x)라고 한다. (\alpha가 정수가 아닐 경우에도 J_\alpha(x)Y_\alpha(x)는 베셀 방정식의 두 개의 독립된 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y(x) = c_1 J_\alpha (x) + c_2 Y_\alpha (x)

여기서 c1,c2는 임의의 상수다.

베셀 방정식의 유도[편집]

베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식

(\Delta+k^2)f=0

극좌표계에서 변수분리할 때 나타난다. 즉, 구면좌표계 라플라스 연산자

\Delta=\frac1r\frac\partial{\partial r}\left(r\frac\partial{\partial r}\right)+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}

이므로, f(r,\theta)

f(r,\theta)=R(kr)\Theta(\theta)

와 같이 변수분리하면 \theta의 주기적 경계 조건에 의하여

\Theta(\theta)=\cos n\theta 또는 \sin n\theta (n\in\mathbb Z)

가 된다. 이를 다시 헬름홀츠 방정식에 대입하면 다음과 같이 베셀 방정식을 얻는다.

R''+(kr)R'+\left((kr)^2-n^2\right)R=0

제1종 베셀 함수[편집]

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑) 일 때 Jα(x)의 그래프

α가 임의의 복소수일 때, 베셀 방정식의 가장 기본적인 해를 제1종 베셀 함수 Jα(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

여기서 Γ(x)는 감마 함수를 의미한다.

이 때 만약 α가 정수가 아니라면, Jα(x)와 J(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서

y(x) = c_1 J_\alpha (x) + c_2 J_{-\alpha} (x)

(여기서 c1,c2는 상수) 는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

성질[편집]

J_{-\alpha} (x) = (-1)^\alpha J_\alpha (x)(a가 정수일때만 정의 된다)
J_{-1/2} (x) = \sqrt{{2 \over \pi x }} \cos x
J_{1/2} (x) = \sqrt{{2 \over \pi x }} \sin x
{d \over dx } \left( x^\alpha J_\alpha (x) \right) = x^\alpha J_{\alpha-1}
\int_0 ^x x' J_0 (x') dx' = x J_1(x)
\sum_{k=-\infty} ^\infty J_k (x) = 1

베셀의 적분[편집]

n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다.

J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (n \tau - x \sin \tau) d\tau.

이 형태는 프리드리히 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.

J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-i(n \tau - x \sin \tau)} d\tau

경로적분법을 통한 표현[편집]

경로적분법을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

J_n(z) = {1 \over 2\pi i}  \oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt

여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

제2종 베셀 함수[편집]

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑)일 때 Yα(x)의 그래프

만약 베셀 방정식의 계수 \alpha가 정수이면 J_{-\alpha}(x)=(-1)^\alpha J_\alpha(x)이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 제2종 베셀 함수 Yα(x)라고 하고, 다음과 같다.

Y_\alpha(x) = \lim_{m \rightarrow \alpha} \frac{J_m (x) \cos m\pi - J_{-m}(x)}{\sin m\pi}.

\alpha가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, \alpha가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다.

변형 베셀 함수[편집]

다음과 같은 2차 상미분 방정식변형 베셀 방정식(modified Bessel equation)이라고 한다.

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0

변형 베셀 방정식의 해는 제1종 변형 베셀 함수 I_\alpha(x)제2종 변형 베셀 함수 K_\alpha(x)이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

y(x) = c_1 I_\alpha(x) + c_2 K_\alpha(x)

방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수라고도 불린다.

제1종 변형 베셀 함수[편집]

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 Iα(x)의 그래프

변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 제1종 변형 베셀 함수 Iα(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.

 I_\alpha (x) = i^{-\alpha} J_\alpha (ix) \;

급수 형태[편집]

제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

I_\alpha (z)= \left(\frac{1}{2}z \right)^\alpha \sum_{k=0}^\infty {\left({1\over4}z^2 \right)^k \over k! \Gamma(\alpha+k+1) }

적분을 통한 표현[편집]

선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

I_n(z) = {1 \over 2\pi i} \oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.

I_\alpha(z)={1\over \pi} \int_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (\alpha\theta) d\theta -{\sin (\alpha\pi) \over \pi } \int_0^\infty e^{-z \cosh t - \alpha t}dt

만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

I_n(z)={1\over \pi} \int_0^\pi e^{z \cos \theta} \cos (n\theta) d\theta

미분과 관련된 성질[편집]

n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

I_n(x)=T_n{d\over dx}I_0(x)

여기서 Tn제1종 체비세프 다항식이다.

제2종 변형 베셀 함수[편집]

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 Kα(x)의 그래프

마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 제2종 변형 베셀 함수 Kα(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.

K_\alpha (x) = {\pi \over 2} { I_{-\alpha}(x) - I_\alpha (x) \over \sin \alpha \pi }

변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,

K_\alpha (x) = \lim_{m \rightarrow \alpha} {\pi \over 2} { I_{-m}(x) - I_m (x) \over \sin \alpha \pi }

또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

  • 배셋 함수
  • 맥도날드 함수

다른 표현[편집]

베셀 함수는 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion)라고 한다.

\exp(ir\cos\theta)=\sum_ni^nJ_n(r)\exp(in\theta)=J_0(r)+\sum_n2i^nJ_n(r)\cos n\theta.

이는 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거(Carl Theodor Anger)의 이름을 딴 것이다.

마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 레일리 전개(Rayleigh expansion)라고 한다.

\exp(ir\cos\theta)=\sum_ni^n(2n+1)j_n(r)P_n(\cos\theta).

여기서 P_n르장드르 다항식이다.

역사[편집]

다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Bessel, Friedrich (1824년). Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen. 《Berlin Abhandlungen》 14.