베르누이의 부등식

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베르누이의 부등식을 나타내는 그림, y=(1 + x)^r(빨강) 와 y=1 + rx(파랑) 의 그래프이다. r=3.이다.

베르누이의 부등식(Bernoulli's inequality)은 실수해석학에서 다루는 부등식으로 (1 + x)n을 근사하는 식이다.

베르누이의 부등식[편집]

모든 정수 r ≥ 0 과 모든 실수 x > −1 에 대해

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

이 성립한다. 만약 지수 r이 짝수이면, 위 부등식은 모든 실수 x에 대해 성립한다. 좀 더 강한 형태의 부등식으로 모든 정수 r ≥ 2 과 모든 실수 x > −1 , x ≠ 0 에 대해

(1 + x)^r > 1 + rx\!

인 부등식도 있다.

베르누이의 부등식은 다른 부등식의 증명 과정중 어려운 부분이 있을 때 자주 쓰이는 부등식이다. 이 부등식은 아래와 같이 수학적 귀납법을 사용하면 증명할 수 있다.

부등식의 증명[편집]

r = 0인 경우는 (1+x)0 ≧ 1+0x 이므로 1 ≧ 1 이 되어 참이 된다.

이제 위 부등식이 r = k일 때 참이라고 가정하자.

(1+x)^k \ge 1+kx.

약간 식을 변형하면,

(1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx) (가정에 의해 1+x ≧ 0 이므로)
\begin{matrix}
& \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+kx+x+kx^2 \\
& \iff & (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x+kx^2
\end{matrix}.

이다. 그런데, kx^2 \ge 0 이니까 1+(k+1)x + kx^2 \ge 1+(k+1)x 이므로, (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x이다. 따라서 r = k+1 일 때도 식이 성립한다.

따라서, 수학적 귀납법에 의해 위 부등식은 모든 r ≧ 0 에 대해 참이 된다.

일반화[편집]

지수 r 은 정수 뿐만 아니라 모든 임의의 x > −1을 만족하는 실수로 일반화 될 수 있다. 그러면, 임의의 실수 r ≤ 0 또는 r ≥ 1에 대해

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

이 성립하고 0 ≤ r ≤ 1 에 대해

(1 + x)^r \leq 1 + rx\!

이 성립한다. 이 일반화는 미분을 비교하면 증명할 수 있다. 그리고 좀 더 강한 형태의 부등식은 x ≠ 0 와 r ≠ 0, 1을 만족할 때 얻을 수 있다.

관련된 부등식[편집]

아래의 부등식은 1+x의 r승을 베르누이의 부등식과 반대쪽 방향에서 근사하는 부등식이다. 아무 실수 x, r > 0 에 대해

(1 + x)^r \le e^{rx},\!

이 성립한다. 여기서 e = 2.718... 이다. 이 부등식은 부등식 (1 + 1/k)k < e 을 사용하면 증명할 수 있다..