베르누이의 렘니스케이트

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베르누이의 렘니스케이트

기하학에서, 베르누이의 렘니스케이트(영어: lemniscate of Bernoulli)는 거리가 2a인 두 초점F1 , F2가 주어졌을 때 곡선상의 각각의 점 P에 대해 PF1·PF2 = a2을 만족하는 평면곡선으로 정의된다. 이 곡선의 모양은 숫자 8 또는 기호 와 유사하며 그 이름은 라틴어: lemniscus 렘니스쿠스[*]에서 유래했는데 이는 “펜던트 리본”이라는 뜻이다. 이 곡선은 카시니의 난형선의 특수한 경우이며 유리곡선이자 4차원의 대수곡선이다.

(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2).\,

렘니스케이트는 타원의 변형으로서 1694년 자코브 베르누이에 의해 처음 고안되었다. 타원은 두 초점으로부터 거리의 이 일정한 곡선이다. 반면에, 카시니의 난형선은 두 초점으로부터 거리의 이 일정한 곡선이다. 이때 이 곡선이 두 초점의 중점을 지나는 경우가 바로 베르누이의 렘니스케이트이다.

렘니스케이트는 중심이 쌍곡선의 중심과 일치하는 반전원에 대한 쌍곡선의 반전형으로도 얻을 수 있다.

다른 방정식 표현들[편집]

렘니스케이트는 아래의 극좌표 방정식으로도 표현이 가능하다.

r^2 = 2a^2 \cos 2\theta\,

또는 아래의 쌍극좌표계 방정식으로도 표현된다.

rr' = \frac{a^2}{2}

미분[편집]

x에 대한 y의 함수로서[편집]

\frac{dy}{dx} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\
\pm1 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\
\frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)}  & \mbox{if } y \ne 0   
\end{cases}
\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\
0 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\
\frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3}  & \mbox{if } y \ne 0  
\end{cases}

y에 대한 x의 함수로서[편집]

\frac{dx}{dy} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
\pm1 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\
\frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)}   & \mbox{else }  
\end{cases}
\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases}
\mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\
0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\
\frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3}  & \mbox{else }  
\end{cases}

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • J. Dennis Lawrence (1972). 《A catalog of special plane curves》. Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5

바깥 고리[편집]