베르누이의 렘니스케이트

베르누이의 렘니스케이트

기하학에서 베르누이의 렘니스케이트(lemniscate of Bernoulli)는 거리가 2a인 두 초점F₁ , F₂가 주어졌을 때 곡선상의 각각의 점 P에 대해 PF₁·PF₂ = a²을 만족하는 평면곡선으로 정의된다. 이 곡선의 모양은 숫자 8 또는 기호 ∞와 유사하며 그 이름은 라틴어 lemniscus에서 유래했는데 이는 “펜던트 리본”이라는 뜻이다. 이 곡선은 카시니의 난형선의 특수한 경우이며 유리곡선이자 4차원의 대수곡선이다.

• 이것의 직교좌표계상의 방정식은 :

$(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2).\,$

• 극좌표상에서는 : $r = a \sqrt{2 \cos(2\varphi)}$

• 매개변수방정식으로는 : $x = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)}{\sin(t)^2 + 1}; \qquad y = \frac{a\sqrt{2}\cos(t)\sin(t)}{\sin(t)^2 + 1}$

렘니스케이트는 타원의 변형으로서 1694년 자코브 베르누이에 의해 처음 고안되었다. 타원은 두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 곡선이다. 반면에, 카시니의 난형선은 두 초점으로부터 거리의 곱이 일정한 곡선이다. 이때 이 곡선이 두 초점의 중점을 지나는 경우가 바로 베르누이의 렘니스케이트이다.

이 렘니스케이트는 중심이 쌍곡선의 중심과 일치하는 반전원에 대한 쌍곡선의 반전형으로도 얻을 수 있다.

다른 방정식 표현들

렘니스케이트는 아래의 극좌표 방정식으로도 표현이 가능하다.

$r^2 = 2a^2 \cos 2\theta\,$

또는 아래의 쌍극좌표계 방정식으로도 표현된다.

$rr' = \frac{a^2}{2}$

미분

$x$에 대한 $y$의함수로서

$\frac{dy}{dx} = \begin{cases} \mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\ \pm1 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\ \frac{x(a^2 - x^2 - y^2)}{y(a^2 + x^2 + y^2)} & \mbox{if } y \ne 0 \end{cases}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \begin{cases} \mbox{unbounded} & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x \ne 0 \\ 0 & \mbox{if } y = 0 \mbox{ and } x = 0 \\ \frac{3a^6(y^2 - x^2)}{y^3(a^2 + 2x^2 + 2y^2)^3} & \mbox{if } y \ne 0 \end{cases}$

$y$에 대한 $x$의함수로서

$\frac{dx}{dy} = \begin{cases} \mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\ \pm1 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\ \frac{y(a^2 + 2x^2 + 2y^2)}{x(a^2 - 2x^2 - 2y^2)} & \mbox{else } \end{cases}$

$\frac{d^2x}{dy^2} = \begin{cases} \mbox{unbounded} & \mbox{if } 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\ 0 & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0 \\ \frac{3a^6(x^2 - y^2)}{x^3(a^2 - 2x^2 - 2y^2)^3} & \mbox{else } \end{cases}$

같이 보기

• 부스의 렘니스케이트
• 게로노의 렘니스케이트

참고 문헌

• J. Dennis Lawrence (1972). 《A catalog of special plane curves》. Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5

바깥 고리

• (영어) Eric Wolfgang Weisstein. Lemniscate. 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• "Lemniscate of Bernoulli" at The MacTutor History of Mathematics archive
• "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in French)