베로네세 곡면

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대수기하학에서, 베로네세 곡면(Veronese曲面, 영어: Veronese surface)은 2차원 사영공간을 5차원 사영공간에 매장하는 한 방법이다.

역사[편집]

이탈리아의 수학자 주세페 베로네세의 이름을 땄다.

정의[편집]

n이 양의 정수이고,

m=\binom{n+d}d-1

이라고 하자. \mathbb CP^n동차좌표(x_0,x_1,\dots,x_n)이라고 하자. 그렇다면 이들 변수로 가능한 모든 d차항들을 나열한다.

x_0^d,x_0^{d-1}x_1,\dots,x_0x_1^{d-1},x_0x_1^{d-2}x_2,\dots,x_{n-1}x_n^{d-1},x_n^d

이는 모두 m개가 있음을 보일 수 있다. 이를 \mathbb CP^m의 좌표로 삼아, 매장 \nu_d\colon \mathbb CP^n\to\mathbb CP^m을 정의할 수 있다. 이를 베로네세 대수다양체(Veronese variety)라고 한다.

베로네세 곡면은 베로네세 대수다양체의 자명하지 않은 가장 단순한 경우로, \nu_2\colon \mathbb CP^2\to\mathbb CP^5이다. 즉, 다음과 같다.

(x,y,z)\mapsto(x^2,y^2,z^2,xy,yz,zx)

참고 문헌[편집]

  • Harris, Joe (1992년). 《Algebraic Geometry, A First Course》. Springer. ISBN 0-387-97716-3