방멱

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그림 1. 방멱의 도해

평면 기하에서, 어떤 한 점 P를 지나는 임의의 직선 O와 만나는 점을 A, B라 할 때, 선분 PA와 PB의 곱을 점 P의 원 O에 관한 방멱(方冪)이라 한다.

원 O의 반지름을 r, 원의 중심 O와 점 P 사이의 거리를 s라 할 때, 다음이 성립한다.

\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\left| s^2-r^2 \right|}

방멱의 정리[편집]

현에 대한 방멱의 정리[편집]

  • 원 O의 두 AB와 CD가 원 내부의 한 점 P에서 만날 때, 다음이 성립한다.
\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}
  • 증명

\mathrm{\triangle PAD}\mathrm{\triangle PCB}에서

\mathrm{\angle PDA=\angle PBC} ( AC에 대한 원주각)
\mathrm{\angle PAD=\angle PCB} ( BD에 대한 원주각)

\mathrm{\triangle PAD\sim \triangle PCB}

\mathrm{\therefore \overline {PA}:\overline {PD}=\overline {PC}:\overline {PB}} (대응변의 닮음비)

따라서, \mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}

할선에 대한 방멱의 정리[편집]

  • 원 O의 두 AB와 CD가 원 외부의 한 점 P에서 만날 때, 다음이 성립한다.
\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}
  • 증명

\mathrm{\triangle PBC}\mathrm{\triangle PDA}에서

\mathrm{\angle PBC=\angle PDA} ( AC에 대한 원주각)
\mathrm{\angle BPD}는 공통

\mathrm{\triangle PBC\sim \triangle PDA}

\mathrm{\therefore \overline {PB}:\overline {PD}=\overline {PC}:\overline {PA}} (대응변의 닮음비)

따라서, \mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}

접선에 대한 방멱의 정리[편집]

  • 원 O의 할선 AB의 연장선과 접선 PT가 점 P에서 만날 때, 다음이 성립한다.
\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PT}^2}
  • 증명

\mathrm{\triangle PAT}\mathrm{\triangle PTB}에서

\mathrm{\angle PTA=\angle PBT} (접선이 이루는 의 크기는 그 각의 내부에 있는 에 대한 원주각의 크기와 같다)
\mathrm{\angle P}는 공통

\mathrm{\triangle PAT\sim \triangle PTB}

\mathrm{\therefore \overline {PA}:\overline {PT}=\overline {PT}:\overline {PB}} (대응변의 닮음비)

따라서, \mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PT}^2}

방멱의 정리의 역[편집]

  • 네 점이 한 원 위에 있을 조건
선분 AB와 CD 또는 그 연장선의 교점 P에 대해서
\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}
가 성립하면, 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

같이 보기[편집]