방멱

그림 1. 방멱의 도해

평면 기하에서, 어떤 한 점 P를 지나는 임의의 직선이 원 O와 만나는 점을 A, B라 할 때, 선분 PA와 PB의 곱을 점 P의 원 O에 관한 방멱(方冪)이라 한다.

원 O의 반지름을 r, 원의 중심 O와 점 P 사이의 거리를 s라 할 때, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\left| s^2-r^2 \right|}$

방멱의 정리

현에 대한 방멱의 정리

• 원 O의 두 현 AB와 CD가 원 내부의 한 점 P에서 만날 때, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}$

• 증명

$\mathrm{\triangle PAD}$와 $\mathrm{\triangle PCB}$에서

$\mathrm{\angle PDA=\angle PBC}$ (호 AC에 대한 원주각)

$\mathrm{\angle PAD=\angle PCB}$ (호 BD에 대한 원주각)

$\mathrm{\triangle PAD\sim \triangle PCB}$

$\mathrm{\therefore \overline {PA}:\overline {PD}=\overline {PC}:\overline {PB}}$ (대응변의 닮음비)

따라서, $\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}$

할선에 대한 방멱의 정리

• 원 O의 두 현 AB와 CD가 원 외부의 한 점 P에서 만날 때, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}$

• 증명

$\mathrm{\triangle PBC}$와 $\mathrm{\triangle PDA}$에서

$\mathrm{\angle PBC=\angle PDA}$ (호 AC에 대한 원주각)

$\mathrm{\angle BPD}$는 공통

$\mathrm{\triangle PBC\sim \triangle PDA}$

$\mathrm{\therefore \overline {PB}:\overline {PD}=\overline {PC}:\overline {PA}}$ (대응변의 닮음비)

따라서, $\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}$

접선에 대한 방멱의 정리

• 원 O의 할선 AB의 연장선과 접선 PT가 점 P에서 만날 때, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PT}^2}$

• 증명

$\mathrm{\triangle PAT}$와 $\mathrm{\triangle PTB}$에서

$\mathrm{\angle PTA=\angle PBT}$ (접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다)

$\mathrm{\angle P}$는 공통

$\mathrm{\triangle PAT\sim \triangle PTB}$

$\mathrm{\therefore \overline {PA}:\overline {PT}=\overline {PT}:\overline {PB}}$ (대응변의 닮음비)

따라서, $\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PT}^2}$

방멱의 정리의 역

• 네 점이 한 원 위에 있을 조건

두 선분 AB와 CD 또는 그 연장선의 교점 P에 대해서

$\mathrm{\overline {PA}\times \overline {PB}=\overline {PC}\times \overline {PD}}$

가 성립하면, 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

같이 보기

• 원
• 현
• 할선
• 접선