방데르몽드 행렬

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

선형대수학에서 방데르몽드 행렬(- 行列)은 각 행이 등비수열로 구성된 행렬이다. 프랑스수학자 알렉상드르 테오필 방데르몽드의 이름에서 따왔다. 다항식 보간법, 최소 자승법 근사 등에서 나타난다.

방데르몽드 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\
\end{bmatrix}

간단히 표현하면 모든 ij에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}

일부에서는 이 행렬의 전치행렬을 방데르몽드 행렬이라고 부르기도 한다.

n \times n 방데르몽드 행렬의 행렬식은 다음과 같이 간단히 정리할 수 있다.

\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i).

이 행렬식을 방데르몽드 다항식이라고 부르기도 한다.

\alpha_i가 모두 단위근으로 나타나는 방데르몽드 행렬은 이산 푸리에 변환에서 다항식 보간을 빠르게 수행할 때 사용한다.