반연속성

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반연속성(半連續性, 영어: semicontinuity)은 해석학에서 실변수 함수의 성질 중 하나로, 연속성보다 약한 정의이다. 간단히 설명하면 함수 f의 점 c 근처에서의 값이 f(c)에 가깝거나 작으면 상반연속(上半連續, 영어: upper semicontinuous) 또는 위에서 반연속이라 하고, 함수 f의 점 c 근처에서의 값이 f(c)에 가깝거나 크면 하반연속(下半連續, 영어: lower semicontinumous) 또는 아래서 반연속이라 한다.

정의[편집]

엄밀한 정의는 다음과 같다.

함수 f : S → R, 집합 S ⊂ Rn와 점 c ∈ S 가 있다 하자.

1. 주어진 ϵ > 0 에 대해 || x - c || < δ , x ∈ S 이고, f(x) < f(c) + ϵ 를 만족하는 δ > 0 이 존재하면 함수 f를 c에서 상반연속또는 위에서 반연속이라 한다.

2. 주어진 ϵ > 0 에 대해 || x - c || < δ , x ∈ S 이고, f(c) - ϵ < f(x) 를 만족하는 δ > 0 이 존재하면 함수 f를 c에서 하반연속또는 아래서 반연속이라 한다.

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위에서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.

다음과 같이 조각적으로 정의된 함수 f = −1 (x < 0 에 대해) and f = 1 (x ≥ 0 에 대해)를 생각해보자. 이 함수는 c = 0 에서 위에서 반연속이다. 하지만 아래서 반연속은 아니다.

아래서 반연속인 함수. 진한 푸른 점은 f(c)를 의미한다.

x보다 같거나 작은 정수 중 가장 큰 값을 주는 내림함수 f(x)=⌊x⌋는 전구간에서 위에서 반연속이다. 비슷하게, 올림함수 f(x)=⌈x⌉는 아래로 반연속이다.

또한, 굳이 좌연속 또는 우연속일 필요 없이 함수는 반연속성을 가질 수 있다. 예를 들어, 함수

f(x) = \begin{cases}
               x^2 & \text{if } 0 \le x < 1,\\
               2   & \text{if } x = 1, \\
               1/2 + (1-x) & \text{if } x > 1,
               \end{cases}

는 x = 1 에서 좌연속 또는 우연속도 아니지만 위에서 반연속이다. 좌극한의 값은 1/2, 우극한의 값은 1이지만, 둘 다 2보다는 작다. 비슷하게 함수

 f(x) = \begin{cases}
                \sin(1/x) & \text{if } x \neq 0,\\
                1         & \text{if } x = 0,
                \end{cases}

는 x = 0 에서 좌극한과 우극한이 존재하진 않지만, 위에서 반연속이다.

다른 정의[편집]

위와 같은 정의 말고도 반연속성을 아래와 같이 정의할 수도 있다. 여기서 말하는 정의는 위의 정의와 동등함을 증명할 수 있다.

함수 f : S → R, 집합 S ⊂ Rn와 점 c ∈ S 가 있다 하자.

1. 모든 c로 수렴하는 수열 {Xk} ⊂ S 에 대해 다음을 만족하면

\limsup_{k \to \infty} f(X_k ) \leq f(\bold{c})

함수 f를 c에서 상반연속또는 위에서 반연속이라 한다.

2. 모든 c로 수렴하는 수열 {Xk} ⊂ S 에 대해 다음을 만족하면

\liminf_{k \to \infty} f(X_k ) \geq f(\bold{c})

함수 f를 c에서 하반연속또는 아래서 반연속이라 한다.

같이 보기[편집]

연속 함수