바일 대수

수학, 특히 대수학에서 바일 대수(Weyl algebra)라고 하는 것은 1변수 다항식을 계수로 가지는 미분 연산자의 환을 뜻한다:

$f_n(X) \partial_X^n + \cdots + f_1(X) \partial_X + f_0(X).$

더 정확하게 말하자면, F가 체이고 F[X]가 F를 계수로 가지는 1개의 변수 X에 대한 다항식의 환이라고 할때에, 각각의 f_i은 F[X]의 원소이고, ∂_X는 X에 대한 미분 연산자일 때에, 위의 형태의 모든 식을 모아 놓은 환이 바로 바일 대수이다.

바일 대수는, 나눗셈 환위에서 정의된 행렬 환이 아닌 단순 환의 중요한 예이다. 바일 대수는 또한, zero-divisor를 가지지 않은 비가환 환의 예이기도 하며, 오레 확장(Ore extension)의 예이기도 하다.

좀 더 간단하게 바일 대수를 표현하는 방법은, 두개의 생성자 X, Y로 생성된 자유 대수를 하나의 관계식 'YX − XY − 1 으로 생성된 이데알로 잘라준 환으로 적는 것이다.

바일 대수를 조금 더 확장하며 n번째 바일 대수라는 것도 만들 수 있는데, 이것은 n개의 변수를 가지는 다항식들을 계수로 가지는 미분 연산자들의 비가환 환을 말한다.

바일 대수의 이름은 독일의 수학자 헤르만 바일(Hermann Weyl)에서 따 온 것인데, 바일은 양자역학의 하이젠베르그(Heisenberg)의 불확정성 원리를 수학적으로 연구하기 위해서 처음 이 바일 대수를 고안해 냈었다.