밀접 결합 근사

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응집물질물리학에서, 밀접 결합 근사(密接結合近似, tight binding approximation)는 전자가 이온에 매우 강하게 묶여 있다는 가정 아래 띠구조를 계산하는 근사 이론이다.

전개[편집]

해밀토니언이 다음과 같다고 하자.

H=\sum_{\mathbf R}H_0(\mathbf r-\mathbf r)+U(\mathbf r).

여기서 \sum_{\mathbf R}결정 격자의 모든 격자 벡터 \mathbf R에 대한 합이고, H_0은 각 이온의 해밀토니언이다. U는 이온 사이의 상호작용을 나타내고, 결정 구조의 대칭을 따른다.

단원자계의 에너지 준위\phi_m이라고 쓰자. 즉

H_0(\mathbf r)\phi_m(\mathbf r)=E_m\phi_m(\mathbf r)

이다. 그렇다면 다원자계의 파동 함수 \psi를 단원자계 파동 함수의 합으로 다음과 같이 전개할 수 있다.

\psi(\mathbf r)=\sum_{m,\mathbf R}b_{m,\mathbf R}\phi_m(\mathbf r-\mathbf R).

블로흐 정리에 따라

\psi(\mathbf R+\mathbf r)=\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf R)\psi(\mathbf r)

이다. 여기서 \mathbf k결정 운동량이다. 따라서

b_{m,\mathbf R}=\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf R)b_{m,\mathbf 0}=\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf R)b_m

이며,

\psi(\mathbf r)=\sum_{m,\mathbf R}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf R)b_m\phi_m(\mathbf r-\mathbf R)

이다.

섭동 이론[편집]

다음을 가정하자.

  • 상호작용항 UH_0에 비하여 매우 작다.
  • 서로 다른 이온 주변의 파동 함수는 거의 겹치지 않는다. 즉, \langle\phi_m(\mathbf r)|\phi_n(\mathbf r-\mathbf R)\rangle이 매우 작다.

그렇다면 U를 섭동항으로 놓고 섭동 이론을 전개할 수 있다.

에너지의 1차 섭동은 다음과 같다.

E_m^{(1)}=\langle\psi|U|\psi\rangle=
N\sum_{m,n,\mathbf R}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf R)b_m^*b_n\int\phi_m^*(\mathbf r)U(\mathbf r)\phi_n(\mathbf r-\mathbf R)\;d^3\mathbf r
.

여기서 N은 격자의 크기이다. 파동 함수의 정규화에 따라서 b_n\approx1/\sqrt N이므로,

E_m^{(1)}\approx\sum_{m,n,\mathbf R}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf R)\int\phi_m^*(\mathbf r)U(\mathbf r)\phi_n(\mathbf r-\mathbf R)\;d^3\mathbf r

이다.

역사[편집]

핑켈슈타인(B. N. Finkelstein)과 호로비츠(G. E. Horowitz)가 분자 오비털에 대하여 1928년에 발표하였다.[1] 이듬해에 펠릭스 블로흐결정 구조에 대하여 독립적으로 발표하였다.[2] 존 슬레이터(John Clarke Slater)와 조지 코스터(George Fred Koster)가 이를 1954년에 개량하고 완성하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. B. N. Finkelstein, G. E. Horowitz (1928년). Eine Bemerkung zur Störungsrechnung in der Wellenmechanik. 《Zeitschrift für Physik》 48 (1–2): 92-94. doi:10.1007/BF01351578.
  2. Bloch, Felix (1929년). Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern. 《Zeitschrift für Physik》 52 (7–8): 555–600. doi:10.1007/BF01339455.
  3. John Clarke Slater, George Fred Koster (1954년). Simplified LCAO Method for the Periodic Potential Problem. 《Physical Review》 94 (6): 1498–1524. doi:10.1103/PhysRev.94.1498.