미분사상

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Pushforward.svg

매끈한 다양체 사이에서 정의된 매끈한 함수 φ : MN가 있을 때, φ의 점 xM에서의 미분사상(differential)은 x 부근에서 φ를 선형근사한 것이다. 구체적으로 말해서, φ의 미분사상이란 Mx에서의 접공간N의 φ(x)에서의 접공간으로 보내는 선형사상이다. 당김과 대응되는 개념으로, (pushforward)이라고도 부른다.

매끈한 함수의 미분사상[편집]

φ : MN를 매끈한 다양체 사이에서 정의된 매끈한 함수라 정의하자. xM가 주어졌을 때, T_x MM의 x에서의 접공간, T_{\varphi \left( x \right)} NN의 φ(x)에서의 접공간이라 정의하자. 그러면 φ의 x에서의 미분사상은 다음과 같은 선형사상이다.

\mathrm d \varphi_x:T_xM\to T_{\varphi(x)}N\,

만약 접공간을 γ(0) = x가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분사상은 다음과 같이 된다.

\mathrm d \varphi_x(\gamma'(0)) = (\varphi \circ \gamma)'(0).