뮤어헤드의 부등식

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뮤어헤드의 부등식(Muirhead's inequality, -不等式)은 로버트 프랭클린 뮤어헤드(Robert Franklin Muirhead)의 이름이 붙은 부등식이다. 뉴턴의 부등식매클로린의 부등식과 유사하게 대칭적인 형태의 식에 관한 부등식 중 하나로, 상당히 강력한 부등식의 일종이다. 이 부등식을 이용하여 산술평균-기하평균 부등식을 유도할 수도 있다.

공식화[편집]

2n개의 실수 a_n \le a_{n-1} \le ... \le a_1b_n \le b_{n-1} \le ... \le b_1 이 다음 두 식을 만족한다고 하자.

  1. \sum_{i=1}^{k} b_i \le \sum_{i=1}^{k} a_i. (k<n인 모든 자연수 k에 대하여)
  2. \sum_{i=1}^{n} b_i = \sum_{i=1}^{n} a_i.

그러면, 뮤어헤드의 부등식은 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1]

  • n개의 임의 양의 실수 x_1, x_2, ..., x_n 에 대하여, \sum_{sym} x_1^{b_1}x_2^{b_2}...x_n^{b_n} \le \sum_{sym} x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}.

여기서, \sum_{sym} f(x_1, x_2, ..., x_n)(x_1, x_2, ..., x_n) 의 순서를 바꾸어 가능한 모든 n!개의 경우에 대한 합을 계산하는 것이다. 예를 들어, \sum_{sym} f(x, y, z)f(x, y, z) + f(x, z, y) + f(y, z, x) + f(y, x, z) + f(z, x, y) + f(z, y, x) 을 의미한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008, 83쪽.

참고 문헌[편집]

  • 류한영 외, 《한국수학올림피아드 바이블 2》, 도서출판 세화, 2008