무한 집합

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수학에서, 무한 집합(無限集合, 영어: infinite set)은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 원소의 개수가 유한한 유한 집합이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 가산 무한 집합비가산 집합으로 나눌 수 있다.

정의[편집]

엄밀한 정의로는 집합 A의 적당한 진부분 집합 S가 존재해, AS 사이의 일대일 대응이 존재하면 A를 무한 집합이라 한다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 S에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 무한 집합이라고 한다.

만약 선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.

성질[편집]

임의의 집합 S에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • S는 무한 집합이다.
  • S^2는 무한 집합이다.
  • 멱집합 \mathcal P(S)는 무한 집합이다.

무한 공리를 제외한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 무한 공리의 존재를 보이려면 무한 공리가 필요하다.

[편집]

자연수의 집합 · 정수의 집합 · 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다. 실수의 집합 · 복소수의 집합은 비가산 집합이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]