몰바이데의 공식

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몰바이데의 공식(독일어: Mollweidesche Formeln, Mollweide's formula, -公式)은 삼각법유클리드 평면 기하학의 정리로, 임의의 삼각형에서 두 변의 길이 합 또는 차와 다른 변의 길이를 연관시키는 공식이다. 독일 수학자 카를 몰바이데(Karl Mollweide)의 이름이 붙어 있다.

각 변의 길이를 A, B, C, 그리고 그 변과 마주보는 각의 크기를 a, b, c라 하면 몰바이데의 공식은 다음과 같이 두 식으로 쓸 수 있다.

  •  \frac{A + B}{C} = \frac{\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{c}{2}\right)}
  •  \frac{A - B}{C} = \frac{\sin\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\cos\left(\frac{c}{2}\right)}

여기서 A, B, C의 선택은 임의의 변에 대해 가능하므로, 실제 한 삼각형에 대해 적용되는 몰바이데의 공식은 _3C_2\times2=6개가 된다.

증명[편집]

첫 번째 식만 증명한다. 사인 법칙삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식, 배각 공식을 이용하면

 \frac{A+B}{C}=\frac{\sin a + \sin b}{\sin c}=\frac{\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\sin\frac{\pi-c}{2}\cos\frac{a-b}{2}}{\sin \frac{c}{2}\cos\frac{c}{2}}=\frac{\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)}{\sin\left(\frac{c}{2}\right)}

으로 원하는 결론을 얻는다.

삼각형의 결정 조건[편집]

몰바이데의 공식은 삼각형의 결정 조건을 검증할 때 자주 이용된다. 먼저 A + B > C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,

  • \cos{\frac{a - b}{2}} > \sin{\frac{c}{2}} = \cos{\frac{a + b}{2}}

이고, 양 변을 전개하면,

  • 2\sin{\frac{a}{2}}\sin{\frac{b}{2}} > 0

이 되는데, 이는 삼각형에서 사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다. 또 A - B < C를 몰바이데의 공식에 의해 풀어 쓰면,

  • \sin{\frac{a - b}{2}} < \cos{\frac{c}{2}} = \sin{\frac{a + b}{2}}

인데 양 변을 전개하면,

  • 2\cos{\frac{a}{2}}\sin{\frac{b}{2}} > 0

이고, 이는 삼각형에서 사인과 코사인의 성질에 의해 항상 성립하는 식이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Michael Sullivan, Trigonometry, Dellen Publishing Company, 1988, p. 243.