몰리의 삼등분 정리

몰리의 정리

몰리의 삼등분 정리는 삼각형에 관한 기하학 정리이다. 1899년에 미국의 수학자 프랭크 몰리가 증명하였다.

삼각형 ABC의 세 각을 각각 삼등분한 선들이 서로 이웃한 것끼리 만나는 점을 각각 P, Q, R이라 하면 삼각형 PQR은 정삼각형이다.

개요

임의의 삼각형에 대해 각 내각의 삼등분선을 긋는다. 각변에 가까운 선끼리의 교점을 P, Q, R이라 하면, 삼각형 PQR은 정삼각형이 된다. 이 정삼각형을 몰리의 삼각형이라고 한다. 내각의 삼등분선 외에 외각의 삼등분선으로도 이와 같이 정삼각형을 만들 수 있다.

증명

몰리의 정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있지만, 대부분 간단하지는 않다. 그 방법들은 주로, 최초로 정삼각형을 정의하고 그 정삼각형의 꼭지점이 삼등분선의 교점 위에 있다는 것을 보이는 것이다.

예시

아래는 삼각함수를 이용한 증명이다.

a, b, c를 아래와 같이 정의한다.

• $\widehat {BAC} = 3 \times a$
• $\widehat {ABC} = 3 \times b$
• $\widehat {ACB} = 3 \times c$

$\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$

이므로

a + b + c = 60

계산을 간단하게 하기 위해서 외접원의 반지름을 1이라 하면, 세 변의 길이는

• AB = 2 sin(3c)
• BC = 2 sin(3a)
• AC = 2 sin(3b)

이 된다.

삼각형 BPC 에사인 법칙을 적용하면,

$\frac {BP}{\sin (c)} = \frac {BC}{\sin (180 - b - c)} = \frac {2 \sin (3a)}{\sin (b + c)} = \frac {2 \sin (3a)}{\sin (60 - a)}$

$BP = \frac {2 \sin (3a) \sin (c)}{\sin (60 - a)}$

sin(3a)를 아래와 같이 변형한다.

$\begin{align} \sin(3a) & = 3\sin(a) - 4\sin^3(a)\\ & = 4\sin(a)\left(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\sin^2(a)\right)\\ & = 4\sin(a)(\sin^2(60) - \sin^2(a))\\ & = 4\sin(a)(\sin(60) + \sin(a))(\sin(60) - \sin(a))\\ & = 4\sin(a) \times 2\sin \left(\frac{60 + a}{2}\right)\cos \left(\frac{60 - a}{2}\right) \times 2\sin \left(\frac{60 - a}{2}\right)\cos \left(\frac{60 + a}{2}\right)\\ & = 4\sin(a)\sin(60 + a)\sin(60 - a) \end{align}$

이 식을 위의 BP 식에 대입하면

BP = 8 sin(a) sin(c) sin(60+a)

이 된다. 같은 방법으로

BR = 8 sin(a) sin(c) sin(60+c)

삼각형 BPR에 코사인 법칙을 적용하면

PR² = BP² + BR² - 2BPBRcos(b)

이 식에 위에서 얻은 BP, BR 의 값을 대입하면

PR² = 64 sin²(a) sin²(c) (sin²(60+a) + sin²(60+c) - 2 sin(60+a) sin(60+c) cos(b))

여기서 (60+a)+(60+c)+b=120+(a+b+c)=180이 된다. 3개의 각이 (60+a), (60+c), b인 삼각형에 사인 법칙과 코사인 법칙을 적용하면,

sin²(b) = sin²(60+a) + sin²(60+c) - 2 sin(60+a) sin(60+c) cos(b)

따라서,

PR = 8sin(a)sin(b)sin(c)

같은 방법으로

PQ = 8sin(b)sin(a)sin(c)

QR = 8sin(a)sin(c)sin(b)

결론적으로

PR = PQ = QR

이 되어, 세 변의 길이가 같다는 것을 알 수 있다.

같이 보기

• 나폴레옹의 정리