모멘트생성함수

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확률론통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기대값이 존재한다면 X모멘트생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.

M_X(t)=E\left(e^{tX}\right), \quad t \in \mathbb{R}

t = 0 근처에서 모멘트생성함수가 존재한다고 가정할 때 모멘트생성함수를 이용하면 확률분포모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} M_X(t).

계산[편집]

X확률밀도함수f(x)\ 이면 모멘트생성함수는 다음과 같이 구한다.

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x
 = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x
 = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,

이때 m_i\ i번째 모멘트이며 M_X(-t)\ f(x)\ 양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F누적분포함수이면 모멘트생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)

n개의 확률변수 X_1, X_2, ... X_n\ 가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 a_i\ 에 대해서 S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i의 확률분포는 X_i\ 각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 모멘트생성함수는 다음과 같다.


M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\ldots M_{X_n}(a_nt).

같이 보기[편집]

  • 누적생성함수(cumulant-generating function)은 모멘트생성함수에 로그를 취한 함수이다..