모멘트생성함수

확률론과 통계학에서, 임의의 확률변수 X의 기대값이 존재한다면 X의 모멘트생성함수(moment generating function, mgf)는 다음과 같이 정의한다.

$M_X(t)=E\left(e^{tX}\right)$, $\quad t \in \mathbb{R}$

t = 0 근처에서 모멘트생성함수가 존재한다고 가정할 때 모멘트생성함수를 이용하면 확률분포의 모멘트는 다음과 같이 간단하게 구할 수 있다.

$E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} M_X(t).$

계산

X의 확률밀도함수가 $f(x)\$이면 모멘트생성함수는 다음과 같이 구한다.

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,\mathrm{d}x$

$= \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,\mathrm{d}x$

$= 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots,$

이때 $m_i\$는 i번째 모멘트이며 $M_X(-t)\$는 $f(x)\$의 양측라플라스변환이다.

확률분포가 연속이든 아니든 F가 누적분포함수이면 모멘트생성함수는 다음과 같은 리만-스틸체스 적분으로 구할 수 있다.

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)$

n개의 확률변수 $X_1, X_2, ... X_n\$가 동일한 분포를 가질 필요는 없지만 독립적인 분포를 가진다고 가정한다. 이때 상수 $a_i\$에 대해서 $S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i$의 확률분포는 $X_i\$ 각자의 확률밀도함수를 합성곱한 것이며, 모멘트생성함수는 다음과 같다.

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\ldots M_{X_n}(a_nt).$

같이 보기

• 확률이론에서 모멘트생성함수와 같이 변환과 연관된 함수에는 특성함수와 확률생성함수등이 있다.

• 누적생성함수(cumulant-generating function)은 모멘트생성함수에 로그를 취한 함수이다..