모레라의 정리

코시 정리에 따르면 단순열결영역(simply connected domain)에서 해석적인 복소함수는 그 영역안의 닫힌 곡선을 따라 적분하면 그 결과는 항상 0이다. 그렇다면 역으로 단순연결영역 안의 임의의 닫힌곡선을 따라 적분한 값이 항상 0이되는 복소함수는 그 영역 안에서 해석적일까? 모레라 정리(Morera's theorem)은 이에 대한 답을 말하고 있다. 모레라의 정리는 주어진 영역에서 복소함수의 해석적 성질을 파악하는데 이용될 수 있다.

정리

$D\subset\mathbb{C}\,$를 열린연결집합(open connected set)이라 하고, $f: D\rightarrow \mathbb{c}\,$를 연속함수라고 하자. 만약 $D\,$ 안에 있는 모든 닫힌곡선 $\gamma\,$에 대해

$\int_{\gamma} f(z)dz=0\,$

이면 $f\,$는 $D\,$에서 해석적인 함수이다.

증명

정의역 안의 한 점 $a\in D\,$를 고정하고, $D\,$ 위에서 새로운 복소함수 $F\,$를

$F(z) = \int_a^z f(\zeta)\,d\zeta\,$

와 같이 정의하자. 그러면 주어진 조건에 의해 우변의 적분은 적분 경로에 영향을 받지 않으므로 $F\,$는 $D\,$에서 정의되는 함수이다. 이제 미적분학의 기본정리에 의해 $F\,$의 도함수는 $f\,$이다. 즉,

$F'(z) = f(z).\,$

이다. 위 식은 영역 $D\,$ 위의 모든 점에서 성립하므로 $F\,$는 해석함수이다. 그러므로 해석함수의 도함수인 $f\,$도 해석함수이다.

응용

모레라의 정리는 미분가능성, 코시-리만 방정식의 만족여부를 판단하기 어려운 경우, 예를 들어 함수가 함수열의 극한, 멱급수, 적분 등의 형태로 주어진 경우 그 함수의 해석적 성질을 파악하는데 활용될 수 있다.

균등극한

모레라의 정리를 이용하여 해석함수열의 균등극한 또한 해석함수가 됨을 알 수 있다. $f_1, f_2, f_3, \cdots\,$를 열린원판 위에서 정의된 해석적인 함수열이라고 하자. 만약 이 수열이 열린원판 위에서 연속인 함수 $f\,$로 균등수렴하면, 코시의 정리에 의해 원판 안의 모든 닫힌곡선 $\gamma\,$를 따라 적분한 값이

$\oint_{\gamma} f_n(z)\,dz = 0, \,\,(n=1, 2, 3, \cdots)$

임을 알 수 있다. 그런데 함수열이 균등수렴하므로 원판 안의 모든 닫힌곡선 $\gamma\,$에 대해

$\oint_{\gamma} f(z)\,dz = \lim_{n\rightarrow\infty} \oint_{\gamma} f_n(z)\,dz = 0$

이다. 그러므로 모레라의 정리에 의해 $f\,$는 열린원판 위에서 해석적인 함수이다.

멱급수와 적분

모레라의 정리를 이용하면 멱급수 또는 적분으로 정의된 함수의 해석적 성질을 확인할 수 있다. 예를 들어 멱급수로 표현된 리만 제타 함수

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

적분으로 표시된 감마함수

$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.$

가 해석함수임을 보일 수 있다.