모듈러성 정리

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수학에서, 모듈러성 정리(영어: modularity theorem) 또는 다니야마-시무라-베유 추측(영어: Taniyama–Shimura-Weil conjecture)은 타원곡선과 고전 모듈러 곡선의 관계에 대한 정리다.[1]

역사[편집]

다니야마 유타카가 1956년 (약간의 오류를 포함한 형태로) 추측하였다. 그 뒤 다니야마와 시무라 고로는 이 추측을 계속 연구하여, 1957년 올바른 형태의 추측을 발표하였다. 1967년 앙드레 베유가 독자적으로 이 추측을 발견하였고,[2] 이 추측은 "다니야먀-시무라(-베유) 추측"으로 알려지게 되었다.

1986년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)가 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있을 수 있다고 추측하면서,[3] 이 추측이 주목받기 시작했다.

1995년 앤드루 와일스리처드 로런스 테일러가 준안정(semistable) 타원곡선에 대하여 모듈러성 정리를 증명하였다.[4][5] 이를 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다. 와일스의 증명을 기반으로 하여, 프레드 다이아몬드(영어: Fred Diamond), 크리스토프 브뢰이(프랑스어: Christophe Breuil), 브라이언 콘래드(영어: Brian Conrad), 리처드 로런스 테일러가 모듈러성 정리 전체를 증명하였다.[6][7][8][9]

전개[편집]

모듈러성 정리는 다음과 같다.

모든 유리 타원곡선모듈러 곡선 X_0(N)의 정수 계수 유리함수로의 상으로 나타낼 수 있다.

여기서 X_0(N)합동 부분군 \Gamma_0(N)에 대한 콤팩트 모듈러 곡선이고, N은 타원곡선에 따라 다른 양의 정수다.

모듈러성 정리는 해석학적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 유리 타원곡선 E/\mathbb Q하세-베유 L-함수

L(s,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n/n^s

가 주어지면, 그 계수로부터 다음과 같은 생성함수를 정의할 수 있다.

f(\tau,E)=\sum_{n=1}^\infty a_n\exp(2\pi in\tau)

그렇다면, 모듈러성 정리에 따라서 f는 무게(weight)가 2이고 준위(level)가 N모듈러 형식이다. 또한, 이 모듈러 형식은 모든 헤케 연산자에 대한 고유형식이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Diamond, Fred, Jerry Shurman (2005년). 《A first course in modular forms》, Graduate Texts in Mathematics 228, ISSN 0072-5285. Springer. doi:10.1007/b138781. Zbl 1062.11022. ISBN 978-0-387-23229-4
  2. (독일어) Weil, André (1967년). Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen. 《Mathematische Annalen》 168: 149–156. doi:10.1007/BF01361551. MR0207658. ISSN 0025-5831.
  3. Frey, Gerhard (1986년). Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations. 《Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae》 1 (1): iv+40. MR853387. ISSN 0933-8268.
  4. Wiles, Andrew (1995년). Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 141 (3): 443–551. MR1333035. ISSN 0003-486X.
  5. (영어) Taylor, Richard, Andrew Wiles (1995년). Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 141 (3): 553–572. doi:10.2307/2118560. MR1333036. ISSN 0003-486X.
  6. (영어) Diamond, Fred (1996년). On deformation rings and Hecke rings. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 144 (1): 137–166. doi:10.2307/2118586. MR1405946. ISSN 0003-486X.
  7. (영어) Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor (1999년). Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations. 《Journal of the American Mathematical Society》 12 (2): 521–567. doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8. MR1639612. ISSN 0894-0347.
  8. (영어) Breuil, Christophe, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor (2001년). On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises. 《Journal of the American Mathematical Society》 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8. MR1839918. ISSN 0894-0347.
  9. (영어) Darmon, Henri (1999년). A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced. 《Notices of the American Mathematical Society》 46 (11): 1397–1401. MR1723249. ISSN 0002-9920.

바깥 고리[편집]