모듈러 군

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수학에서, 모듈러 군(영어: modular group) 또는 보형군(保型群)은 정수 계수의 뫼비우스 변환이다. 무한 이산 군이며, 두 개의 생성원 S, T로 주어진다. 기호는 \operatorname{PSL}(2,\mathbb Z) 또는 \Gamma.

정의[편집]

모듈러 군 \Gamma는 다음과 같이 표시(presentation)되는 군이다.

\Gamma=\langle S,T|S^2=(ST)^3=1\rangle.

즉, 이는 순환군 Z_2Z_3자유 곱(free product)이다.

\Gamma=Z_2*Z_3.

모듈러 군은 상반평면 \mathbb H=\{\tau\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}\tau>0\}유리함수작용한다. 이 경우 생성원 S, T의 작용은 다음과 같다.

S\colon z\mapsto-1/z
T\colon z\mapsto z+1.

따라서 모듈러 군의 일반적인 원소는 다음과 같이 작용한다.

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\colon z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}. (\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z))

이 경우 행렬 +M,-M\in\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)의 작용이 같으므로, 이는 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z)/(-I)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)=\Gamma의 작용임을 알 수 있다.

모듈러 군의 작용의 표준적인 기본 영역(영어: fundamental domain)은 다음과 같다.

\{z\in\mathbb H\colon|\operatorname{Re}(z)|\le1/2,\;|z|\ge1\}
ModularGroup-FundamentalDomain-01.png

합동 부분군[편집]

모듈러 군은 합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 일련의 부분군들을 가진다. 일반적으로, 합동 부분군은 (아래에 정의된) \Gamma(N)을 부분군으로 가지는 \Gamma의 부분군 \Gamma(N)\subset G\subset\Gamma(1)이다. 이 경우, 이러한 최소 N을 합동 부분군 G준위(영어: level 레벨[*], 독일어: Stufe 슈튜페[*])라고 한다.

흔히 쓰이는 합동 부분군으로는 \Gamma(N), \Gamma_0(N), \Gamma_1(N)이 있다. 이들은 다음과 같은 관계를 가진다.

\Gamma(N)\subset\Gamma_1(N)\subset\Gamma_0(N)

모듈러 군 Γ(N)[편집]

모듈러 군 \Gamma주합동 부분군(영어: congruence subgroup)이라는 중요한 부분군들을 가진다. N\ge2가 양의 정수라고 하면, 2×2 정수 행렬의 모든 수를 N에 대한 동치류들로 치환하는 다음과 같은 군 준동형사상이 존재한다.

\Gamma=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)\to\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)

군 준동형사상레벨 N의 주합동 부분군 \Gamma(N)이라고 한다. 즉, 다음과 같은 짧은 완전열이 있다.

1\to\Gamma(N)\hookrightarrow\Gamma\twoheadrightarrow\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)\to1

구체적으로, \Gamma(N)은 다음과 같은 꼴의 행렬들로 이루어진다. 행렬

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

에 대하여,

a\equiv d\equiv\pm1\pmod N
b\equiv c\equiv 0\pmod N

특히, \Gamma(2)=\LambdaΛ 모듈러 군(영어: modular group Λ)라고 불린다. 이 경우 \operatorname{SL}(2;\mathbb Z/2)\cong S_3은 3차 순환군이므로 크기가 6이다. 즉, \Lambda지표가 6인 부분군이다.

모듈러 군 Γ1(N)[편집]

모듈러 군 Γ1(N)\Gamma의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

에 대하여,

a\cong d\cong1
c\cong0\pmod N

모듈러 군 Γ0(N)[편집]

모듈러 군 Γ0(N)\Gamma의 부분군이며, 다음과 같은 꼴의 원소를 포함한다. 행렬

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

에 대하여,

c\cong0\pmod N

즉, 위와 같이 \Gamma\to\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z/N\mathbb Z)와 같은 군 준동형사상에서, 상삼각행렬인 원소들이다. \Gamma(N)\Gamma_0(N)의 부분군이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]