메르텐스 정리 (정수론)

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정수론에서 메르텐스 정리독일 수학자 프란츠 메르텐스(Franz Mertens)가 1874년에 제출한 정리로서, 소수의 밀도에 관한 해석학적 정수론(Analytic number theory)의 초기 결과이다. 다음과 같은 세 가지 형식이 있다.(메르텐스의 제2정리의 경우, 레온하르트 오일러는 이미 소수의 역수의 합이 발산함을 복소해석적 기법으로 증명한 적이 있다[1]) 소수 정리가 이미 증명된 지금은 메르텐스의 제1정리와 제2정리의 수렴성은 소수 정리로부터 직접적으로 유도가 가능하다.

메르텐스의 제1정리[편집]

p를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

  • \ln n - \sum_{p < n} \frac{\ln p}{p} = O(1) \quad \hbox{as}\ n\to\infty,

이 수렴값은 약 1.3325822757..이다.[2]

메르텐스의 제2정리[편집]

p를 소수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

  • \lim_{n\to\infty}\left(-\ln\ln n+\sum_{p<n}\frac1p\right)=0.2614972128\ldots,

이 수렴값(M)을 마이셀-메르텐스 상수(Meissel–Mertens constant)라 한다. 약간의 대수학적 변형을 이용하면 이것과 유명한 오일러-마스케로니 상수 \gamma 와의 다음과 같은 관계식을 도출할 수도 있다.

  • M- \gamma= \sum_{p} \left[ \ln \left(1- \frac{1}{p} \right)+ \frac{1}{p} \right]

메르텐스의 제3정리[편집]

p를 소수, \gamma를 오일러-마스케로니 상수라 하면, 다음 등식이 성립한다:

  • \lim_{n\to\infty}\ln n\prod_{p<n}\left(1-\frac1p\right)=e^{-\gamma},

이것은 제타 함수와 관계가 있는 유명한 식이다.

참고[편집]

수렴하는 두 무한급수의 수렴값의 곱은 코시 곱(Cauchy product)의 수렴값과 같다는 정리를 메르텐스의 정리라고 부를 때도 있다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 폴 나힌, 『허수 이야기』, 경문사 참조
  2. http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di_Mertens