메넬라우스의 정리

메넬라우스의 정리(Menelaus' Theorem)는 메넬라우스가 증명한 초등 기하의 정리이다.

삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB 또는 그의 연장선과 직선 $l$의 교점을 D, E, F라 하면

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

이다.

특징

• 체바의 정리(Ceva's Theorem)는 메넬라우스의 정리와 쌍대를 이룬다.
• 역도 성립한다.
• 임의의 다각형에서도 성립한다.

예)사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 $l$의 교점을 E, F, G, H라 하면

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DH}{HA}= 1$

이다.

• 직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

증명

꼭짓점 A, B, C로부터 직선 $l$에 내린 수선의 발을 G, H, I라 한다.그러면

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = \frac{AG}{HB} \cdot \frac{BH}{IC} \cdot \frac{CI}{GA} = 1$