메넬라우스의 정리

메넬라우스의 정리

메넬라우스의 정리(Menelaus' Theorem)는 메넬라우스가 증명한 초등 기하의 정리이다.

주어진 삼각형 ABC에서 꼭짓점이 아닌 점 P, Q, R가 각각 직선 \overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB} 위에 있다고 하자. 이때, P, Q, R가 공선점이면

$\frac{\overline{AR}}{\overline{RB}} \cdot \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}} \cdot \frac{\overline{CQ}}{\overline{QA}} = 1$

이 성립한다. 또한, 역으로 위의 식이 성립하면 P, Q, R는 공선점이다.

특징

• 체바의 정리(Ceva's Theorem)는 메넬라우스의 정리와 쌍대를 이룬다.
• 임의의 다각형에서도 성립한다.

예)사각형 ABCD의 네 변 AB, BC, CD, DA 또는 그의 연장선과 직선 $l$의 교점을 E, F, G, H라 하면

$\frac{AE}{EB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CG}{GD} \cdot \frac{DH}{HA}= 1$

이다.

• 직선이 다각형을 지나지 않아도 된다.

증명

위의 그림과 같이 P, Q, R가 한 직선 l 위에 있다고 가정하자. 이때, 점 C를 지나고 직선 l에 평행인 직선 m을 생각하고 m과 $\overline{AB}$와의 교점을 D라 하자. 이때, l과 m은 서로 평행이므로 다음이 성립한다.

$\frac{\overline{BP}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{RB}}{\overline{RD}}, \frac{\overline{QC}}{\overline{AQ}} = \frac{\overline{RD}}{\overline{AR}}$

따라서,