망골트 함수

망골트 함수(Mangoldt function)는 수론적 함수의 하나로, 독일 수학자 한스 폰 망골트의 이름을 땄다.

정의

보통 $\Lambda(n)$으로 표현하는 함수로서 다음과 같이 정의한다.

• n이 어느 소수 $p$의 거듭제곱일 경우 $\Lambda(n) = \log p$
• 나머지 경우 $\Lambda(n) = 0$

성질

망골트 함수는 수론적 함수이면서 곱셈적 함수가 아닌 예로 종종 등장한다.

산술의 기본 정리 때문에 다음이 성립한다.

$\log n = \sum_{d\,\mid\,n} \Lambda(d),\,$

또한, 체비쇼프 함수(Chebyshev function)는 망골트 함수를 이용하여 간단하게 정의할 수 있다. 즉,

$\psi(x) = \sum_{n\le x} \Lambda(n).$

다음과 같이 뫼비우스 함수(Möbius function)와도 관련이 있다.

$\sum_{d|n} \mu \left(\frac{n}{d}\right) \log d = \Lambda(n)$

디리클레 급수와의 관계

리만 제타 함수의 로그는 다음과 같은 디리클레 급수(Dirichlet series)로 표현가능하다.

$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}$

마찬가지로 제타함수의 로그도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.

$\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$