마우러-카르탕 형식

미분기하학에서, 마우러-카르탕 형식(Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수값을 가진 1차 미분형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다.

역사

루트비히 마우러(독일어: Ludwig Maurer)와 엘리 카르탕의 이름을 땄다.

정의

$G$가 리 군이라고 하고, 그 리 대수를 $\mathfrak g$라고 하자. (적어도 유한 차원인 경우) $G$는 항상 $GL(n,\mathbb C)$의 부분군으로 나타낼 수 있다. 그렇다면 마우러-카르탕 형식 $\omega$는 $G$ 위에 정의된, $\mathfrak g$값을 가진 1차 미분형식으로, 다음과 같다.

$\omega|_g=g^{-1}dg$.

이 표현은 $G$를 어떤 부분군으로 나타내는지에 관계없다는 사실을 보일 수 있다. 또한, $G$를 행렬로 표현할 필요 없이, 마우러-카르탕 형식을 내재적으로 정의할 수도 있다.