립시츠 연속 함수

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해석학에서, 립시츠 연속 함수(영어: Lipschitz-continuous function)는 두 점 사이의 거리를 일정 비 이상으로 증가시키지 않는 함수이다. 이름은 독일의 수학자인 루돌프 립시츠의 이름을 땄다.

정의[편집]

거리 공간 (X,d_X), (Y,d_Y) 사이의 함수 f\colon X\to Y 및 음이 아닌 실수 K\ge0가 다음 조건을 만족시킨다면, fK-립시츠 연속 함수라고 한다.

  • 임의의 x,x'\in X에 대하여, d_Y(f(x),f(x'))\le Kd_X(x,x')

거리 공간 (X,d_X), (Y,d_Y) 사이의 함수 f\colon X\to Y가 적어도 하나의 음이 아닌 실수 K\ge0에 대하여 K-립시츠 함수라면, f립시츠 연속 함수라고 한다.

성질[편집]

립시츠 연속 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R는 다음 조건들을 만족시킨다.

미분 가능 함수 f\colon\mathbb R\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • f는 립시츠 연속 함수이다.
  • \sup\{|f'(x)|\colon x\in\mathbb R\}<\infty이다.

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함수 \sqrt{}\colon[0,1]\to\mathbb R균등 연속 함수이지만 립시츠 연속 함수가 아니다. 지수 함수 \exp\colon\mathbb R\to\mathbb R연속 함수이며 해석함수이지만 립시츠 연속 함수가 아니다.

참고 문헌[편집]

  • Boris Hasselblatt, Anatole Katok (2003). A First Course in Dynamics: with a Panorama of Recent Developments, 1 edition, Cambridge University Press

같이 보기[편집]