리우빌의 정리 (복소해석학)

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복소해석학에서 리우빌의 정리(영어: Liouville's theorem)는 만약  f 유계(bounded)인 전해석함수이면  f 는 상수함수가 된다는 내용의 수학 정리이다. 다시 말하면: 전해석함수  f 에 대해 복소평면 위의 모든 점  z 에서  |f (z) |\le M 이 되게 하는 양수  M 이 존재하면  f 는 반드시 상수이어야 한다.

피카르의 소정리(Picard's little theorem)는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함수값으로 갖지 않는 모든 전해석함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수 z 에 대해  f(z)\neq a ,  f(z)\neq b 인 서로 다른 두 복소수  a, b 가 존재하면  f 는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌의 정리를 크게 발전시킨 더 넓은 의미의 정리이다.

증명[편집]

 f 전해석함수이므로  z=0 에서 테일러 급수

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k

로 나타낼 수 있다. 그런데 위 급수에서 계수  a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} 이므로 코시의 적분공식에 의해


a_k =  {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} 
\frac{f( \zeta )}{\zeta^{k+1}}\,d\zeta

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 Cr 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 r > 0 인 원을 나타낸다. 그러므로 주어진 조건  |f (\zeta) |\le M 을 이용하면 부등식


| a_k  | 
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta |^{k+1}  } \, |d\zeta|
\leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r}    \frac{ M }{ r^{k+1}  } \, |d\zeta|
= \frac{M}{2 \pi r^{k+1}} \oint_{C_r} |d\zeta|
= \frac{M}{2 \pi r^{k+1}} 2 \pi r
= \frac{M}{r^k},

를 얻는다. 그런데 여기서 원 Cr 의 반지름 r > 0 은 임의의 양수이므로 r을 무한히 크게 하면,

 \lim_{r \rightarrow \infty}|a_k| \le
\lim_{r \rightarrow \infty} \frac{M}{r^k}=0

이므로 모든  k=1, 2, 3, \cdots 에 대해 ak = 0 이다. 따라서 f(z) = a0, 즉 상수이다.