리우빌의 정리 (복소해석학)

복소해석학에서 리우빌의 정리(Liouville's theorem)는 만약 $f$ 가 유계(bounded)인 전해석함수이면 $f$ 는 상수함수가 된다는 내용의 수학 정리이다. 다시 말하면: 전해석함수 $f$ 에 대해 복소평면 위의 모든 점 $z$ 에서 $|f (z) |\le M$ 이 되게 하는 양수 $M$ 이 존재하면 $f$ 는 반드시 상수이어야 한다.

피카르의 소정리(Picard's little theorem)는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함수값으로 갖지 않는 모든 전해석함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수$z$에 데해 $f(z)\neq a$, $f(z)\neq b$ 인 서로 다른 두 복소수 $a, b$ 가 존재하면 $f$ 는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌의 정리를 크게 발전시킨 더 넓은 의미의 정리이다.

증명

$f$ 는 전해석함수이므로 $z=0$ 에서 테일러 급수

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k$

로 나타낼 수 있다. 그런데 위 급수에서 계수 $a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ 이므로 코시의 적분공식에 의해

$a_k = {1 \over 2 \pi i} \oint_{C_r} \frac{f( \zeta )}{\zeta^{k+1}}\,d\zeta$

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 C_r 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 r > 0 인 원을 나타낸다. 그러므로 주어진 조건 $|f (\zeta) |\le M$을 이용하면 부등식

$| a_k | \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta |^{k+1} } \, |d\zeta| \leq \frac{1}{2 \pi} \oint_{C_r} \frac{ M }{ r^{k+1} } \, |d\zeta| = \frac{M}{2 \pi r^{k+1}} \oint_{C_r} |d\zeta| = \frac{M}{2 \pi r^{k+1}} 2 \pi r = \frac{M}{r^k},$

를 얻는다. 그런데 여기서 원 C_r 의 반지름 r > 0 은 임의의 양수이므로 r을 무한히 크게 하면,

$\lim_{r \rightarrow \infty}|a_k| \le \lim_{r \rightarrow \infty} \frac{M}{r^k}=0$

이므로 모든 $k=1, 2, 3, \cdots$ 에 대해 a_k = 0 이다. 따라서 f(z) = a₀, 즉 상수이다.