리우빌의 정리 (복소해석학)

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복소해석학에서, 리우빌의 정리(영어: Liouville's theorem)는 복소 평면 위의 유계 정칙함수상수 함수라는 정리다.

정의[편집]

리우빌의 정리에 따르면, 복소 평면 \mathbb C 위의 함수 f\colon\mathbb C\to\mathbb C에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

증명[편집]

리우빌의 정리는 테일러 급수 전개를 사용해 간단히 증명할 수 있다. 즉, 유계 함수의 경우, 테일러 급수의 계수가 (상수항을 제외하고) 모두 0이어야 한다는 것을 보이면 된다.

상수함수가 유계 정칙함수인 것은 자명하다. 반대로, 유계 정칙 함수 f가 주어졌다고 하자. 이는 테일러 급수

f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k

로 나타낼 수 있다. 그렇다면 임의의 양의 실수 r\in\mathbb R^+에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

|a_k |=\left|\frac1{2\pi i}\oint_{|\zeta|=r}\frac{f( \zeta )}{\zeta^{k+1}}\,d\zeta\right|\le \frac{1}{2 \pi} \oint_{|\zeta|=r}    \frac{ | f ( \zeta ) | }{ | \zeta |^{k+1}  } \, |d\zeta|\le\frac{\sup_{\mathbb C}f}{r^k}

r는 임의의 양의 실수이므로,

|a_k|\le\lim_{r \rightarrow \infty} \frac{\sup_{\mathbb C}f}{r^k}=0\qquad(k>0)

이다. 즉,

a_k=0\qquad(k>0)

이며, f상수 함수이다.

따름정리[편집]

대수학의 기본정리[편집]

리우빌의 정리를 사용해 대수학의 기본정리를 쉽게 증명할 수 있다. p\colon\mathbb C\to\mathbb C가 상수가 아닌 다항식이며, 근을 갖지 않는다고 하자. n차 다항식의 경우, 충분히 큰 |z|에 대하여

\frac12|z|^n<|p(z)|

이므로,

|p(z)|>|p(0)|\quad\forall|z|>r

r\in\mathbb R^+를 찾을 수 있다. p는 근을 갖지 않으므로, 1/p는 복소 평면 위의 유계 정칙함수이다. 따라서, 리우빌의 정리에 의하여 p는 상수 함수가 되는데, 이는 가정과 모순된다.

극점이 없는 타원 함수의 부재[편집]

리우빌의 정리에 따라서, 극점이 없는 타원 함수는 상수 함수이다. 극점이 없는, 주기가 \omega_1,\omega_2\in\mathbb C인 타원 함수는 콤팩트 집합 \{s_1\omega_1+s_2\omega_2|s_1,s_2\in[0,1]\} 위에서 최댓값을 가져 유계 함수이므로, 리우빌의 정리가 적용된다.

상수 함수가 아닌 복소 평면 위 정칙함수의 상은 조밀[편집]

정칙함수 f\colon\mathbb C\to\mathbb C f(\mathbb C)\subset\mathbb C은 하나의 점만을 포함하거나, 아니면 \mathbb C조밀집합이다. 이 역시 리우빌의 정리로부터 쉽게 증명할 수 있다. 만약 정칙함수 f에 대하여, 모든 z\in\mathbb C에 대하여 항상 |f(z)-w_0|>r라고 하자. 그렇다면

z\mapsto\frac1{f(z)-w_0}

는 복소 평면 위의 유계 정칙함수이므로, f는 상수 함수이다.

일반화[편집]

피카르의 소정리(Picard's little theorem)는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함수값으로 갖지 않는 모든 전해석함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수 z 에 대해  f(z)\ne a ,  f(z)\ne b 인 서로 다른 두 복소수  a, b 가 존재하면  f 는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌의 정리를 함의한다.

역사[편집]

리우빌의 정리는 1844년에 오귀스탱 루이 코시가 최초로 증명하였다.[1][2]

1847년에 조제프 리우빌이 극점이 없는 타원 함수상수 함수임을 증명하였다.[3] 이는 오늘날 "리우빌의 정리"라고 일컬어지는 결과의 따름정리다.

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Cauchy, Augustin-Louis (1844년). 〈Mémoires sur les fonctions complémentaires〉, 《Œuvres complètes d’Augustin Cauchy, sér. 1, vol. 8》. Gauthiers-Villars. doi:10.1017/CBO9780511702365.055
  2. (영어) Lützen, Jesper (1990년). 《Joseph Liouville 1809–1882: master of pure and applied mathematics》, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 15. Springer. ISBN 3-540-97180-7
  3. (프랑스어) Liouville, Joseph (1879년). Leçons sur les fonctions doublement périodiques faites en 1847 par M. J. Liouville. 《Journal für die Reine und Angewandte Mathematik》 88: 277–310. doi:10.1515/crll.1880.88.277. ISSN 0075-4102.

바깥 고리[편집]