리스의 보조정리

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리스의 보조정리(Riesz' lemma, -補助定理)는 헝가리 수학자 리스 프리제시(Riesz Frigyes)의 이름이 붙은 함수해석학보조정리이다. 이는 노름선형공간(Normed linear space)의 어떤 부분공간조밀집합이라는 것을 보장하는 조건을 제시한다.

공식화[편집]

X가 노름선형공간이고, Y가 X의 닫힌 진부분공간이라 하자. 그러면 임의의 실수 0<a<1에 대해서 x_a \in S_X = \{x \in X | \parallel x \parallel = 1 \} 이 존재하여 모든 y \in Y 에 대하여 다음이 성립한다.[1]

\parallel x_a - y \parallel > a.

증명[편집]

x \in X-Y 를 임의로 하나 잡는다. Y가 닫힌 집합이므로 0 < d = \inf \{\parallel x-z \parallel | z \in Y \} < \frac{d}{a} 이다. 따라서 z \in Y 가 존재하여 \parallel x-z \parallel < \frac{d}{a} 이 된다. 이제 x_a := \frac{x-z}{\parallel x-z \parallel} 라 하면, x_a \in S_X 이고, y \in Y 이면,

\parallel x_a - y \parallel = \parallel \frac{x-z}{\parallel x-z \parallel} - y \parallel = \frac{\parallel x-(z+\parallel x-z \parallel y)\parallel}{\parallel x-z \parallel} > \frac{a}{d} d = a.[1]

주석[편집]

  1. 방현수, 《실해석&함수해석학》, 교우사, 2002, 173쪽.

참고 문헌[편집]

  • 방현수, 《실해석&함수해석학》, 교우사, 2002.