르장드르 다항식

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르장드르 다항식(Legendre polynomial) Pn(x)는 르장드르 미분 방정식(Legendre differential equation)이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.

(1-x^2) {d^2 \over dx^2} P(x) - 2x P(x) + n(n+1)P(x) = 0

자기수반형으로 쓰면,

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0

이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵 마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특별히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 자주 나온다.

목차

[편집] 르장드르 다항식

구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

n Pn(x)
0 1\,
1 x\,
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,
7 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,
8 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,
9 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,
10 \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,

n = 1,2,3,4,5인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

[편집] 로드리게즈의 공식을 통한 표현

로드리게즈의 공식을 사용하면, 다음과 같은 르장드르 다항식의 일반식을 얻을 수 있다.

P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

[편집] 간단한 성질

르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.

  • Pn( − x) = ( − 1)nPn(x)
  • Pn(1) = 1
  • Pn( − 1) = ( − 1)n
  • P'_n(1) = \frac{k(k+1)}{2}
  • n이 홀수이면 Pn(0) = 0
  • n이 짝수이면 P'n(0) = 0

[편집] 수직 관계

르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1] 에서 함수의 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

\left( P_n , P_m \right) = \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

여기서 δmn은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 왜 이 관계가 성립하는지 간단히 알아보기 위해 르장드르 미분 방정식의 자기 수반형을 보자.

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + \lambda P(x) = 0

여기서 고유값 λ = n(n + 1)이다. 위의 형태를 보면 르장드르 방정식의 해가 일종의 스텀-리우빌 문제의 해임을 알 수 있다. 따라서 이 해들은 서로 수직하다.

[편집] 점화식 표현

르장드르 다항식은 점화식을 사용해서 나타낼 수 도 있다.

(k+1)P_{k+1} (x) - (2k+1) x P_k (x) + k P_{k-1} (x) = 0 \;

[편집] 경로적분을 통한 표현

르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분형태로 표현될 수 있다.

P_n(z)={1 \over2\pi i} \oint (1-2tz+t^2)^{-1\over 2}t^{-(n+1)}dt

여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 고리경로 이다.

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A5%B4%EC%9E%A5%EB%93%9C%EB%A5%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D’