르장드르 기호

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르장드르 기호(Legendre symbol)는 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 나타내는 함수로서 수론에서 매우 중요한 개념이다. 이 이름은 프랑스 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따서 지어졌다.

정의[편집]

홀수 소수 p와 정수 a에 대하여, 르장드르 기호

\left(\frac{a}{p}\right)

는 다음과 같이 정의된다.

르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.

르장드르 상반 법칙[편집]

p, q 가 홀수 소수일 때,


\left(\frac{q}{p}\right) 
= \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\tfrac{p-1}{2}\tfrac{q-1}{2}}.

의 성질이 성립한다.

이차상호법칙과 관련된 정리이다.

르장드르 기호의 확장[편집]

르장드르 기호 \left(\frac{a}{p}\right)에서 p를 소수가 아닌 홀수까지 확장한 야코비 기호와 짝수까지 더 확장한 크로네커 기호가 있다.