르장드르 기호

르장드르 기호(Legendre symbol)는 어떤 수가 이차 나머지인지 아닌지를 나타내는 함수로서 수론에서 매우 중요한 개념이다. 이 이름은 프랑스 수학자 아드리앵 마리 르장드르의 이름을 따서 지어졌다.

정의

홀수 소수 $p$와 정수 $a$에 대하여, 르장드르 기호

$\left(\frac{a}{p}\right)$

는 다음과 같이 정의된다.

• $a$가 $p$의 배수일 때, $\left(\frac{a}{p}\right)=0$
• $a$가 $p$에 대한 이차 나머지일 때, $\left(\frac{a}{p}\right)=1$
• $a$가 $p$에 대한 이차 나머지가 아닐 때, $\left(\frac{a}{p}\right)=-1$

르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.

르장드르 상반 법칙

p, q 가 홀수 소수일 때,

$\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\tfrac{p-1}{2}\tfrac{q-1}{2}}.$

의 성질이 성립한다.

이차상호법칙과 관련된 정리이다.

르장드르 기호의 확장

르장드르 기호 $\left(\frac{a}{p}\right)$에서 $p$를 소수가 아닌 홀수까지 확장한 야코비 기호와 짝수까지 더 확장한 크로네커 기호가 있다.