루진의 정리

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해석학에서, 루진의 정리(Лузин의定理, 영어: Luzin's theorem)는 가측 함수가 거의 어디서나 연속 함수라는 정리다.

정의[편집]

라돈 측도 \mu를 갖춘 하우스도르프 공간 X에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 제2 가산 공간 Y로 가는 가측 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 만약 \mu(X)<\infty라면, 루진의 정리에 따르면 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 닫힌 집합 X_\epsilon\subset X가 존재한다.

만약 X가 추가로 국소 콤팩트 공간이라면, 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여 다음 두 조건들을 만족시키는 콤팩트 집합 X_\epsilon연속 함수 f_\epsilon\colon X\to Y가 존재한다.

  • \mu(X\setminus X_\epsilon)<\epsilon
  • f|_{X_\epsilon}=f_\epsilon|_{X_\epsilon}이다.

실수 구간의 경우, 다음과 같은 형태의 루진 정리가 성립한다. 임의의 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

역사[편집]

니콜라이 니콜라예비치 루진이 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Lusin, N.N. (1912). “Sur les propriétés des fonctions mesurables” (프랑스어). 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences권=154》: 1688–1690. Zbl 43.0484.04. 
  • 김성기, 계승혁, 《실해석》, 서울대학교출판부, 2002.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]