레일리 분포

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레일리 분포
확률 밀도 함수
Plot of the Rayleigh PDF
누적 분포 함수
Plot of the Rayleigh CDF
매개변수 \sigma>0\,
지지집합 x\in [0;\infty)
확률 밀도 \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}
누적 분포 1-\exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)
기댓값 \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
중앙값 \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
최빈값 \sigma\,
분산 \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
비대칭도 \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
첨도 -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
엔트로피 1+\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}\sigma^3}\right)+\frac{\gamma}{2}
모멘트생성함수 1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)

레일리 분포(Rayleigh distribution)는 확률론통계학에서 연속 확률 분포의 한 종류이다. 흔히 2차원 벡터의 직교 성분이 정규 분포일 경우, 벡터의 크기는 레일리 분포를 갖는다. 예를 들어 바람을 2차원 벡터로 나타냈을 때, 직교 성분이 정규 분포이면, 바람의 속력은 레일리 분포를 따른다. 실수부와 허수부가 독립적으로 정규 분포를 따르는 복소수가 있다면, 복소수의 절댓값이 레일리 분포를 나타낸다.

레일리 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

f(x|\sigma) = \frac{x \exp\left(\frac{-x^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma^2}

\textrm{erfi}(z)\ 가 복소오차 함수라고 할 때, 특성 함수는 다음과 같다.

\varphi(t)=
1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

\textrm{erf}(z)\ 오차 함수일 때, 모멘트생성 함수는 다음과 같다.

M(t)=\,
1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)

\Gamma(z)감마 함수일 때, 원적률은 다음과 같다.

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,

모멘트를 이용하면 평균, 분산, 왜도, 첨도 등을 구할 수 있다.

모수 추정[편집]

\sigma 매개변수의 최대우도 추정공식은 다음과 같다.

\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}

다른 확률 분포[편집]

같이 보기[편집]