랭킨-위고니오 방정식

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랭킨-위고니오 방정식(Rankine–Hugoniot equation)은 유입되는 흐름의 방향과 수직인 충격파의 거동을 나타내는 방정식이다. 물리학자인 윌리엄 랭킨(영어: William John Macquorn Rankine)과 프랑스의 공학자인 피에르앙리 위고니오(프랑스어: Pierre-Henri Hugoniot)의 이름을 땄다.

유동이 1차원, 정상상태이며, 오일러 방정식을 따르고 질량, 운동량, 에너지가 보존된다 가정한다. 유동의 지배 방정식인 질량 보존운동량 보존, 그리고 에너지 보존 방정식에서 두 속도 u_1 and u_2를 제거하여 랭킨-위고니오 방정식을 얻는다.

유입되는 유동은 아래첨자 1이라 하고 유출되는 유동은 아래첨자 2라 한다. 여기서 \rho밀도, u속도, p압력이라 한다. e는 단위 질량당 내부 에너지를 나타낸다. 만약 유동을 이상기체라 가정하면, 상태 방정식 p=\rho(\gamma-1)e이다.

다음 방정식은

\rho_1u_1=\rho_2u_2\,
p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2
e_1+\frac{p_1}{\rho_1}+\frac{1}{2}u_{1}^2=e_2+\frac{p_2}{\rho_2}+\frac{1}{2}u_{2}^2

각각 질량 보존, 운동량 보존, 에너지 보존을 나타낸다. 에너지 유량은 기계적 일, 내부에너지, 운동 에너지 3개의 요소를 가진다. 이 세 개의 보존 조건을 랭킨-위고니오 조건이라 부른다.

위 방정식에서 속도를 제거하면 다음과 같은 관계를 얻는다.


2\left(h_2-h_1\right)=\left(p_2-p_1\right)\cdot
\left(\frac{1}{\rho_1}+\frac{1}{\rho_2}\right)

여기서 엔탈피 h=\frac{p}{\rho} + e이다.


\frac{p_1}{p_2}=
\frac{(\gamma+1)-(\gamma-1)\frac{\rho_2}{\rho_1}}
{(\gamma+1)\frac{\rho_2}{\rho_1}-(\gamma-1)}

따라서, 압력은 모두 양수이고, 밀도비는 (\gamma+1)/(\gamma-1) 또는 공기라면 6(\gamma=1.4)이다. 충격파의 강도가 증가할수록, 유출되는 유동의 온도는 올라가지만, 밀도의 비는 \rho_2/\rho_1 유한한 값에 수렴한다.(단원자 기체는 4(\gamma = 5/3)이고, 이원자분자 기체는 6(\gamma = 1.4)이다.