랭킨-위고니오 방정식 (Rankine–Hugoniot equation )은 유입되는 흐름의 방향과 수직인 충격파 의 거동을 나타내는 방정식이다. 물리학자인 윌리엄 랭킨(영어 : William John Macquorn Rankine )과 프랑스의 공학자인 피에르앙리 위고니오(프랑스어 : Pierre-Henri Hugoniot )의 이름을 땄다.
유동이 1차원, 정상상태이며, 오일러 방정식 을 따르고 질량 , 운동량 , 에너지 가 보존된다 가정한다. 유동의 지배 방정식인 질량 보존 과 운동량 보존 , 그리고 에너지 보존 방정식 에서 두 속도
u
1
{\displaystyle u_{1}}
u
2
{\displaystyle u_{2}}
유입되는 유동은 아래첨자 1 이라 하고 유출되는 유동은 아래첨자 2 라 한다. 여기서
ρ
{\displaystyle \rho }
밀도 ,
u
{\displaystyle u}
속도 ,
p
{\displaystyle p}
압력 이라 한다.
e
{\displaystyle e}
내부 에너지 를 나타낸다. 만약 유동을 이상기체 라 가정하면, 상태 방정식 은
p
=
ρ
(
γ
−
1
)
e
{\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}
다음 방정식은
ρ
1
u
1
=
ρ
2
u
2
{\displaystyle \rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}\,}
p
1
+
ρ
1
u
1
2
=
p
2
+
ρ
2
u
2
2
{\displaystyle p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}}
e
1
+
p
1
ρ
1
+
1
2
u
1
2
=
e
2
+
p
2
ρ
2
+
1
2
u
2
2
{\displaystyle e_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}=e_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}}
각각 질량 보존 , 운동량 보존 , 에너지 보존 을 나타낸다. 에너지 유량은 기계적 일, 내부에너지, 운동 에너지 3개의 요소를 가진다. 이 세 개의 보존 조건을 랭킨-위고니오 조건 이라 부른다.
위 방정식에서 속도를 제거하면 다음과 같은 관계를 얻는다.
2
(
h
2
−
h
1
)
=
(
p
2
−
p
1
)
⋅
(
1
ρ
1
+
1
ρ
2
)
{\displaystyle 2\left(h_{2}-h_{1}\right)=\left(p_{2}-p_{1}\right)\cdot \left({\frac {1}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{\rho _{2}}}\right)}
여기서 엔탈피
h
=
p
ρ
+
e
{\displaystyle h={\frac {p}{\rho }}+e}
p
1
p
2
=
(
γ
+
1
)
−
(
γ
−
1
)
ρ
2
ρ
1
(
γ
+
1
)
ρ
2
ρ
1
−
(
γ
−
1
)
{\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {(\gamma +1)-(\gamma -1){\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}}{(\gamma +1){\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}-(\gamma -1)}}}
따라서, 압력 은 모두 양수이고, 밀도비는
(
γ
+
1
)
/
(
γ
−
1
)
{\displaystyle (\gamma +1)/(\gamma -1)}
γ
=
1.4
{\displaystyle \gamma =1.4}
ρ
2
/
ρ
1
{\displaystyle \rho _{2}/\rho _{1}}
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
{\displaystyle \gamma }
