람베르트 W 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(램버트 W 함수에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색
W > -4이고 x < 6일 때 W(x)의 그래프. W ≥ −1 인 부분은 W0, W ≤ −1 인 부분은 W−1이라 한다.

수학에서, 람베르트 W 함수(영어: Lambert W function)는 복소함수 f(w)=we^w역관계의 일부인 함수들의 집합이며, 다음과 같은 공식을 가진다.

z = W(z)e^{W(z)}

f전사함수가 아니기 때문에, 관계 W는 z=0일 때를 제외하고 여러 값을 가질 수 있다.

람베르트 W 함수는 초등함수로 나타낼 수 없다. 람베르트 W 함수는 조합론에서, 또는 지수를 포함한 다양한 방정식을 푸는 데 사용되며, 지연미분방정식의 해에서 나타나기도 한다.

역사[편집]

요한 람베르트가 "람베르트 초월방정식"이라고 불리는 방정식을 1758년 처음 연구하였다.[1] 1783년 레온하르트 오일러는 이 방정식의 특수한 경우인 x=we^w에 대한 논문을 발표하였다.[2] 람베르트 W 함수 자체는 1925년 처음 언급되었다.[3]

성질[편집]

도함수[편집]

음함수의 미분을 사용하여, 임의의 W의 가지가 상미분방정식

z(1+W)\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=W\quad\text{for }z\neq -1/e

를 만족시킴을 안다.(Wz = −1/e에서 미분가능하지 않다.) 따라서, W에 대한 다음 공식을 얻는다.

\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}=\frac{W(z)}{z(1 + W(z))}\quad\text{for }z\not\in\{0,-1/e\}

한편, z = 0에서 W의 미분계수는

\left.\frac{{\rm d}W}{{\rm d}z}\right|_{z=0}=1

이다.

부정적분[편집]

함수 W(x)와 W(x)를 포함하는 많은 식들은 치환적분을 이용하여 적분할 수 있다.

\int W(x)\,{\rm d}x = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C

다른 공식들[편집]

\int_{0}^{\pi} W\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi}
\int_{0}^{\infty} W\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}

\int_{0}^{\infty} \frac{W(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}

그래프[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (라틴어) Lambertus, Joannes Henricus (1758년). Observationes variae in mathesin puram. 《Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica》 3: 128–168.
  2. (라틴어) Eulerus, L. (1783년). De serie Lambertina, plvrimisqve eivs insignibvs proprietatibvs. 《Acta academiae scientarum imperialis Petropolitinae》 2: 29–51.
  3. Pólya, George, Gábor Szegő (1998년). 《Aufgaben und Lehrsätze der Analysis》. Berlin: Springer-Verlag

바깥 고리[편집]