란다우 준위

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양자역학에서, 란다우 준위(Ландау準位, 영어: Landau level)는 자기장 속에서 움직이는 대전 입자의 양자화된 궤도들이다. 레프 란다우의 이름을 땄다.

유도와 정의[편집]

z방향으로 균일한 자기장 \mathbf B=B\hat{\mathbf z}가 주어진 xy 평면을 생각하자. 이 자기장에 대한 자기 퍼텐셜 \mathbf A

\mathbf A=xB\hat{\mathbf y}

으로 잡을 수 있다. xy 평면에 갇힌, 전하 q를 가진 입자를 생각하자. 이 입자의 해밀토니언은 다음과 같다.

H=\frac1{2m}(\mathbf p-q\mathbf A)^2=\frac1{2m}\left(p_x^2+(p_y-qxB)^2\right)

이 해밀토니언은 y방향 운동량과 가환한다.

[H,p_y]=0

따라서 p_y를 그 고유값으로 대체할 수 있다. p_y의 고유값을 고정시키면, 이 해밀토니언은 위치 에너지

V(x)=(p_y-qxB)^2/2m=\frac1{2m}q^2B^2(x-p_y/qB)^2

를 가지는, 1차원 공간 위에 존재하는 입자다. 이 퍼텐셜은 포물선 꼴이므로, 이는 1차원 양자 조화 진동자이며, 그 각진동수 \omega

\omega=qB/m

다. 따라서, 주어진 p_y에 대한 에너지 준위는 다음과 같다.

E_n=\left(\frac12+n\right)\hbar qB/mc

이 준위들을 란다우 준위라고 한다.

같이 보기[편집]