라그랑주 승수법

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라그랑주 승수법(Lagrange乘數法, 영어: Lagrange multiplier method)은 제약이 있는 최적화 문제를 푸는 방법이다. 최적화하려 하는 값에 형식적인 라그랑주 승수(Lagrange乘數, 영어: Lagrange multiplier) 항을 더하여, 제약된 문제를 제약이 없는 문제로 바꾼다. 조제프루이 라그랑주가 도입하였다. 수학, 라그랑주 역학, 경제학, 운용 과학 등에 쓰인다.

정의[편집]

연속미분가능함수 f\colon\mathbb R^D\to\mathbb R\mathbf g\colon\mathbb R^D\to\mathbb R^C를 생각하자. \mathbf g(\mathbf x)=0인 제약 아래 f(\mathbf x)를 최적화하는 문제를 생각하자. 이 문제는 라그랑주 승수법을 써 다음과 같이 풀 수 있다. 다음과 같은 함수 F\colon\mathbb R^{D+C}\to\mathbb R을 정의하자.

F(\mathbf x,\mathbf y)=f(\mathbf x)+\mathbf y\cdot\mathbf g(\mathbf x)

F정류점(stationary point)은 오일러-라그랑주 방정식을 통하여 찾을 수 있다. 그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

  • 만약 (\mathbf x,\mathbf y)\in\mathbb R^{D+C}F의 정류점이라면, \mathbf x\mathbf g=0으로 제약한 f의 정류점이다.
  • 만약 \mathbf x\in\mathbb R^D\mathbf g=0으로 제약한 f의 정류점이라면, (\mathbf x,\mathbf y)F의 정류점인 \mathbf y\in\mathbb R^C가 존재한다.

여기서 보조변수 \mathbf y\in\mathbb R^C라그랑주 승수(영어: Lagrange multiplier)라고 한다.

최적화 이론에서는 (국소적) 극점(extremum)을 찾는다. 극점은 정류점의 부분집합이므로, 정류점을 모두 찾아 극점인지 확인하면 된다. 반면, 라그랑주 역학에는 단순히 정류점만을 찾으면 되므로 이는 필요없다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

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