라그랑주의 네 제곱수 정리

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라그랑주의 네 제곱수 정리(프랑스어: Théorème des quatre carrés de Lagrange, Lagrange's four-square theorem, -數 定理)는 정수론정리로, 디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스클로드 가스파르 바셰1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주1770년에 완전히 증명에 성공하였다.

이 정리는 다음과 같은 내용을 담고 있다.[1]

  • 모든 자연수 n은 네 개 정수 제곱수의 합으로 표현할 수 있다.

증명의 개략[편집]

증명은 다음과 같은 단계를 거쳐 할 수 있다.[2]

  1. p가 홀수인 소수이면 합동식 x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p 를 만족하는 0 \le x_0, y_0 \le \frac{p-1}{2} 인 해 (x_0, y_0) 이 존재함을 보인다.
  2. 이를 이용하여 p가 홀수인 소수이면 정수 k < p가 존재하여 kp가 네 개 제곱수의 합이 됨을 보인다.
  3. 이상의 결과와 오일러의 네 제곱수 항등식을 이용하여 모든 소수 p가 네 제곱수의 합으로 표현 가능함을 보인다.
  4. 마지막으로, 임의의 네 제곱수의 합으로 표현 가능한 두 수의 곱 역시 오일러의 네 제곱수 항등식에 의해 네 제곱수의 합으로 표현 가능하므로, 산술의 기본 정리에 의해 결론을 얻는다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

주석[편집]

  1. 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.
  2. 같은 책, 172-177쪽.

참고 문헌[편집]

  • 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003