디리클레 등차수열 정리

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수론에서, 디리클레 등차수열 정리(Dirichlet等差數列定理, 영어: Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions)는 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다는 정리다.

정의[편집]

a_0b서로소인 양의 정수라고 하자. 디리클레 등차수열 정리에 따르면, 등차수열

a_n=a_0+nb=(a_0,a_0+b,a_0+2b,\dots)

에는 무한히 많은 소수가 포함되어 있다. 즉, 무한히 많은 소수들을

a_0+nb

의 꼴로 나타낼 수 있다. 또한, 이 수열에 포함된 소수들의 역수들의 합은 발산한다.

\sum_{a_0+nb\text{ prime}}1/(a_0+nb)=\infty

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대표적인 등차수열에 포함된 소수들은 다음과 같다.

등차수열 포함된 소수 OEIS 수열
2n + 1 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … (OEIS의 수열 A065091)
4n + 1 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … (OEIS의 수열 A002144)
4n + 3 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … (OEIS의 수열 A002145)
6n + 1 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, … (OEIS의 수열 A002476)
6n + 5 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, … (OEIS의 수열 A007528)
8n + 1 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, … (OEIS의 수열 A007519)
8n + 3 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, … (OEIS의 수열 A007520)
8n + 5 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, … (OEIS의 수열 A007521)
8n + 7 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, … (OEIS의 수열 A007522)
10n + 1 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, … (OEIS의 수열 A030430)
10n + 3 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, … (OEIS의 수열 A030431)
10n + 7 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, … (OEIS의 수열 A030432)
10n + 9 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, … (OEIS의 수열 A030433)
12n + 1 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, … (OEIS의 수열 A068228)
12n + 5 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, … (OEIS의 수열 A040117)
12n + 7 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, … (OEIS의 수열 A068229)
12n + 11 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, … (OEIS의 수열 A068231)

역사[편집]

레온하르트 오일러는 1로 시작하는 모든 등차수열에 대하여 이 정리를 추측하였고, 아드리앵마리 르장드르가 이 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다.

페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년 이 정리를 증명하였다.[1][2] 이를 증명하기 위하여 디리클레는 수론에 해석학적인 기법을 도입하였다. 이는 해석적 수론의 시초로 여겨진다.

1946년에 아틀레 셀베르그가 초등적인 증명을 발표하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Dirichlet, P. G. L. (1837년). Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. 《Abhand. Ak. Wiss. Berlin》 48.
  2. (영어) Dirichlet, Peter Gustav Lejeune. There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime. arXiv:0808.1408. Bibcode2008arXiv0808.1408L. (디리클레 논문 영어 번역)
  3. Selberg, Atle (1949년). An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression. 《Annals of Mathematics》 50 (2): 297–304. doi:10.2307/1969454. JSTOR 1969454.

바깥 고리[편집]